Урок 6. [2] Системы тригонометрических уравнений

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

Задачи 18-21 необходимо решить для произвольного $a$, то есть указать все значения $a$, для которых уравнение имеет решение, и при таких $a$ найти все решения.

1. $\left\{\begin{array}{l l} tg x\cdot tg z=3,\\ tg y\cdot tg z=6,\\ x+y+z=\pi \end{array}\right.$
2. $\left\{\begin{array}{l l} \sin x=\sin 2y,\\ \cos x=\sin y \end{array}\right.$
3. $\left\{\begin{array}{l l}tg x+ctg y=3,\\ |x-y|=\frac{\pi}{3} \end{array}\right.$
4. $\left\{\begin{array}{l l} \sin^2 x+\sin^2 y=\frac{3}{4},\\ x+y=\frac{\pi}{3} \end{array}\right.$
5. $\left\{\begin{array}{l l} 4tg 3y=3tg 2x,\\ 2\sin x\cos (x-y)=\sin y \end{array}\right.$
6. $\left\{\begin{array}{l l} ctg x+\sin 2y=\sin 2x,\\ 2\sin y\sin (x+y)=\cos x \end{array}\right.$
7. $\left\{\begin{array}{l l} \sin x+\frac{1}{\cos y}=2,\\ \sin x\cdot\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{2} \end{array}\right.$
8. $\left\{\begin{array}{l l} \cos x+\cos y=1,\\ \cos\frac{x}{2}+\cos \frac{y}{2}=\frac{\sqrt{2}-2}{2} \end{array}\right.$
9. $\left\{\begin{array}{l l} \sin x\cos (x+y)+\sin (x+y)=3\cos (x+y),\\ 4\sin x=5ctg (x+y) \end{array}\right.$
10. $\left\{\begin{array}{l l} \sin (2x+\sin^2 y)=0,\\ x-3\sin^2 y=-2 \end{array}\right.$
11. $\left\{\begin{array}{l l} \sin x+tg y=0,\\ \sin^2 x+tg^2 y=1 \end{array}\right.$
12. $\left\{\begin{array}{l l} 2\sqrt{3}\cos x+6\sin y=3+12\sin^2 x,\\ 4\sqrt{3}\cos x+2\sin y=7 \end{array}\right.$
13. $\left\{\begin{array}{l l} 2(5+2\sqrt{6})\sin x+2\cos y=2\sqrt{2}\cos 2x-5\sqrt{2}-3\sqrt{3},\\ 2(3+\sqrt{6})\sin x+2\cos y+3\sqrt{2}+\sqrt{3}=0\end{array}\right.$
14. $\left\{\begin{array}{l l} \sin x\sin y=\frac{1}{4},\\ 3tg x=ctg y \end{array}\right.$
15. $\left\{\begin{array}{l l} \sin x\cos y=-\frac{1}{2},\\ tg x\cdot ctg y=1 \end{array}\right.$
16. $\left\{\begin{array}{l l} \sqrt{\sin x}\cdot\cos y=0,\\ 2\sin^2 x-\cos 2y-2=0 \end{array}\right.$
17. $\left\{\begin{array}{l l} \sqrt{\cos 2x}\cdot\cos y=0,\\2\sin^2 x-\cos (2y-\frac{\pi}{3})=0\end{array}\right.$
18. [3] $\left\{\begin{array}{l l} \sin x\sin y=\frac{5}{6}\sin a,\\ \cos x\cos y=\frac{5}{6}\cos a \end{array}\right.$
19. [3] $\left\{\begin{array}{l l} \sin^2 x+\sin^2 y=\frac{1}{2},\\ \frac{1}{\cos^2 x}+\frac{1}{\cos^2 y}=\frac{8}{3-a} \end{array}\right.$
20. [3] $\left\{\begin{array}{l l} \sin x\cos y=a^2,\\ \sin y\cos x=a \end{array}\right.$
21. [3] $\left\{\begin{array}{l l} a\cos (2x+y)=\cos y,\\ a\cos (x+2y)=\cos x \end{array}\right.$ при всех а > 1.

Ответы к домашнему заданию урока 6 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"