В.В. Ткачук Математика - абитуриенту. Домашнее задание к уроку 7

Урок 7. [3] Обратные тригонометрические функции

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

  1. Докажите, что arctg x+arcctg x=\frac{\pi}{2} для любых x.
  2. Докажите, что arctg (-x)=-arctg x для любых x.
  3. Докажите, что arcctg (-x)=\pi - arcctg x для любых x.
  4. Докажите, что \sin (arctg x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} для любых x.
  5. Докажите, что tg (\arcsin x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} для x\in (-1;1).
  6. Докажите, что tg (\arccos x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} для x\in [-1;0)\cup (0;1].
  7. Докажите, что tg (arcctg x)=ctg( arctg x)=\frac{1}{x} для x\ne 0.
  8. Докажите, что \arcsin x+\arcsin y=\arcsin (x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}) при x,y\in [0; 1/\sqrt{2}]
  9. Верно ли утверждение предыдущей задачи для любых x,y\in [-1;1]?
  10. Докажите, что arctg x+arctg y=arctg \frac{x+y}{1-xy}, если x,y\in [0;1).
  11. Верно ли утверждение предыдущей задачи для любых x, y?
  12. Найдите \arcsin (sin 10).
  13. Найдите \arccos (cos 10).
  14. Найдите tg^2 (\frac{1}{2}\arccos\frac{2}{3}).
  15. Найдите arctg\frac{1}{2}+arctg\frac{1}{3}+arctg\frac{1}{4}+arctg\frac{1}{5}+arctg\frac{1}{6}+arctg\frac{2}{3}+arctg\frac{3}{5}+arctg\frac{5}{7}.
  16. Решите уравнение 2\arcsin x+\arccos (1-x)=0.
  17. Решите уравнение \sin (3\arccos x)=\frac{1}{2}.
  18. Решите уравнение \arcsin^2 x+\arccos^2 x=\frac{5\pi^2}{36}.

Ответы к домашнему заданию урока 7 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

  1. Не верно для x=y=1
  2. Не верно для x=y=1
  3. 3\pi-10
  4. 4\pi-10
  5. 1/5
  6. \pi
  7. 0
  8. \pm\cos (\pi/18)
  9. 1/2; \sqrt{3}/2