Урок 7. [3] Обратные тригонометрические функции

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. Докажите, что $arctg x+arcctg x=\frac{\pi}{2}$ для любых $x$.
2. Докажите, что $arctg (-x)=-arctg x$ для любых $x$.
3. Докажите, что $arcctg (-x)=\pi - arcctg x$ для любых $x$.
4. Докажите, что $\sin (arctg x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ для любых $x$.
5. Докажите, что $tg (\arcsin x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ для $x\in (-1;1)$.
6. Докажите, что $tg (\arccos x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ для $x\in [-1;0)\cup (0;1]$.
7. Докажите, что $tg (arcctg x)=ctg( arctg x)=\frac{1}{x}$ для $x\ne 0$.
8. Докажите, что $\arcsin x+\arcsin y=\arcsin (x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})$ при $x,y\in [0; 1/\sqrt{2}]$
9. Верно ли утверждение предыдущей задачи для любых $x,y\in [-1;1]$?
10. Докажите, что $arctg x+arctg y=arctg \frac{x+y}{1-xy}$, если $x,y\in [0;1)$.
11. Верно ли утверждение предыдущей задачи для любых x, y?
12. Найдите $\arcsin (sin 10)$.
13. Найдите $\arccos (cos 10)$.
14. Найдите $tg^2 (\frac{1}{2}\arccos\frac{2}{3})$.
15. Найдите $arctg\frac{1}{2}+arctg\frac{1}{3}+arctg\frac{1}{4}+arctg\frac{1}{5}+arctg\frac{1}{6}+arctg\frac{2}{3}+arctg\frac{3}{5}+arctg\frac{5}{7}$.
16. Решите уравнение $2\arcsin x+\arccos (1-x)=0$.
17. Решите уравнение $\sin (3\arccos x)=\frac{1}{2}$.
18. Решите уравнение $\arcsin^2 x+\arccos^2 x=\frac{5\pi^2}{36}$.

Ответы к домашнему заданию урока 7 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

9. Не верно для x=y=1
11. Не верно для x=y=1
12. $3\pi-10$
13. $4\pi-10$
14. 1/5
15. $\pi$
16. 0
17. $\pm\cos (\pi/18)$
18. $1/2; \sqrt{3}/2$