В.В. Ткачук Математика - абитуриенту. Домашнее задание к уроку 24

Урок 24. Касательная

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

  1. Найти все такие числа x_0, что касательные к графикам функций y=3\cos 5x и y=5\cos 3x+2 в точках с абсциссой x_0 параллельны.
  2. Найти уравнения тех касательных к графику функции y=\frac{2x^2-1}{x}, которые вместе с осями координат ограничивают треугольник площади 1.
  3. К параболе y=4-x^2 в точке с абсциссой a=1 проведена касательная. Найти точку ее пересечения с осью координат.
  4. Вычислить площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции y=\frac{x}{2x-1} в точке с абсциссой a=1.
  5. Найти точки пересечения с осями координат тех касательных к графику функции y=\frac{2x-3}{x+3}, у которых угловой коэффициент равен 9.
  6. Найти все a, при которых касательная к графику функции y=\cos 7x+7\cos x в точке с абсциссой a параллельна касательной к этому же графику в точке с абсциссой \pi/6.
  7. [3] Найти координаты точки, лежащей на графике функции y=1+\cos x при 0\leq x\leq \pi и наименее удаленной от прямой x\sqrt{3}+2y+4=0.
  8. [2] Прямая касается графика функции y=\sqrt[3]{x^2} в точке с абсциссой a\in [1/2; 1]. При каких a площадь треугольника, ограниченного этой прямой, осью Ох и прямой х = 2 будет наименьшей? Найти эту наименьшую площадь.
  9. Найти координаты точки пересечения касательных к графику функции y=\frac{3x+1}{2x-1} в точках с абсциссами -1 и 3.
  10. Проводятся касательные к графику функции y=3x-x^2 в точке с абсциссой a = 2 и в точке минимума. Найти площадь треугольника, образованного осью ординат и этими касательными.
  11. Найти координаты точки пересечения касательных к графику функции y=\cos \pi x в точках с абсциссами 1/6 и 7/6.
  12. Найти координаты точек пересечения с осью абсцисс касательных к графику функции y=\frac{x+1}{x-3}, которые образуют угол 135о с осью Ох.
  13. Вычислить площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции y=\sqrt{2x^2-4} в точке с абсциссой a=2.
  14. [2] Прямая касается графика функции y=\frac{1}{x^2} в точке с абсциссой a\in [5;9]. Эта прямая, ось Ох и прямая х = 4 ограничивают треугольник. При каких a его площадь будет наибольшей? Найти эту наибольшую площадь.
  15. [2] На плоскости Оxy рассматриваются прямоугольные треугольники ABC, где угол ACB прямой, А=(2;0), вершина С лежит на отрезке [0;2] оси Ох, а В - на параболе y=2x-x^2. Какие координаты должна иметь точка В, чтобы площадь треугольника АВС была наибольшей?

Ответы к домашнему заданию урока 24 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

  1. n\pi, \pi/8+n\pi/4, n\in Z
  2. y=4x\pm 2\sqrt{2}
  3. (0;5)
  4. 2
  5. (0;11), (-11/9; 0), (0;47), (-47/9; 0)
  6. n\pi/4, \pi/6+n\pi/3, n \in Z
  7. (0;2)
  8. a=4/5; наименьшая площадь равна 48\cdot\sqrt[3]{5/4}/25
  9. (-7; 4)
  10. 49/32
  11. (2/3+\frac{\sqrt{3}}{\pi}; -\pi/4)
  12. (0;0), (8;0)
  13. 1
  14. a=8, наибольшая площадь равна 1/8
  15. (2/3; 8/9)