Урок 38. [3] Более сложные логические задачи

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. Найдите все $a$, при которых уравнение $((2x+a)\sqrt{22a-4a^2-24}-2(x^2+x)\lg a)\cdot\lg \frac{36a-9a^2}{35}=0$ имеет по крайней мере два корня, один из которых $\geq 0$, а другой $\leq -1$.
2. Найдите все $a$, при которых система $\left\{\begin{array}{l l} \sin x\sin y=\frac{1}{z^2},\\ \cos x\cos y=-\frac{(x+y)^2}{(a-\pi)^2},\\ \sin (x-y)=\frac{2(x+y)}{(a-\pi)z} \end{array}\right.$ имеет ровно одно решение, удовлетворяющее условиям $0\leq y \leq \pi/2$ и $z>0$.
3. Даны системы $\left\{\begin{array}{l l} x+2y=2-a,\\ -x+ay=a-2a^2 \end{array}\right.$ и $\left\{\begin{array}{l l} x^2-y^4-4x+3=0,\\ 2x^2+y^2+(a^2+2a-11)x+12-6a=0 \end{array}\right.$. При каких $a$ они равносильны?
4. При каких $a$ система $\left\{\begin{array}{l l} 3y+2+xy=0,\\ x(y+1-a)+y(2a-3)+a+3=0 \end{array}\right.$ имеет единственное решение?
5. При каких $a$ неравенство $|3\sin^2 x+2a\sin x\cos x+\cos^2 x+a|\leq 3$ выполнено для любого $x$?
6. Найдите все $a$, при которых система $\left\{\begin{array}{l l} 9x^2-6xy+y^2+6x-13y+3=0,\\ 13x^2+6xy+10y^2+16x+2y-4ax-6ay+a^2-2a+3=0 \end{array}\right.$ имеет хотя бы одно решение.
7. Найдите все $a$, при которых неравенство $-\frac{1}{2}|a+3||x+a+6|+(|a+3|-\displaystyle\frac{a^2+6a+8}{|a+3|}-\frac{1}{2}|a+3||x-a|)\cdot |x+3| \geq -2$выполняется ровно для двух значений $x$.
8. При каких $a$ уравнение $\sqrt{a+\sqrt{a+\sin x}}=\sin x$ имеет решение?
9. При каких $a$ система $\left\{\begin{array}{l l} y(ax+1)+13x-a(1+y)=0,\\ x-xy+|2+y|=0\end{array}\right.$ имеет решения?
10. При каких $a$ ровно одно решение неравенства $\sqrt{(a+3)(a^2+a-6)}\cdot x^3-\sqrt{a^4+a^3-6a^2}\cdot x^2$ $+\sqrt{a^3+3a^2}\cdot x-a^2\leq 0$ удовлетворяет условию $1\leq x\leq 4+a$?
11. При каком $b$ система неравенств $\left\{\begin{array}{l l} y\geq (x-b)^2,\\ x\geq (y-b)^2 \end{array}\right.$ имеет единственное решение?
12. Найдите все числа $c$ и $d$, для которых наибольшее значение функции $y(x)=|4\cdot\displaystyle\frac{3^x+3^{-x}-2}{3^x+3^{-x}+2}+(c+2s)\cdot 2\cdot\displaystyle\frac{3^x-1}{3^x+1}+2c+d|$ на отрезке [-1; 1] является наименьшим.
13. Найдите все $a$, при которых система $\left\{\begin{array}{l l} 1-\sqrt{|x-1|}=\sqrt{7|y|},\\ 49y^2+x^2+4a=2x-1\end{array}\right.$ имеет ровно четыре решения.
14. Найдите все пары (a;b), для которых система $\left\{\begin{array}{l l} x^2-y^2+a(x+y)=x-y+a,\\ x^2+y^2+bxy-1=0\end{array}\right.$ имеет не менее пяти решений (x; y).
15. Найдите все $b$ такие, что система $\left\{\begin{array}{l l} 2x^2-2xy+10y^2=b^4-6b^3+9b^2-19+\sqrt{85},\\ x^2+2xy-3y^2=4\end{array}\right.$ имеет хотя бы одно решение.
16. Найдите все $b\in [-1;1]$ такие, что выражение $1-\sqrt{4x^2+4bxy+y^2+8y+18}$ принимает наибольшее значение лишь при одной паре (x; y).
17. При каких $a$ уравнение $(a^2-6a+9)(2+2\sin x-\cos^2 x)+(12a-18-2a^2)(1+\sin x)+a+3=0$ не имеет решений?
18. При каких $a$ уравнение $\log_{1/\pi}\displaystyle\frac{a^2+4\pi^2+4}{4x-x^2-2(a-2\pi )|x-2|+4\pi a}$ $-\sqrt{(x-5a+10\pi-34)(|\pi-x|-a+\pi+2)}=0$ имеет хотя бы одно целочисленное решение?
19. Найдите все $b$, при которых система уравнений $\left\{\begin{array}{l l} \cos (y-b)-2\cos x=0,\\ \log_2 (by-y^2)=2\log_4 (-x)-\log_{1/2} (3y)\end{array}\right.$ имеет нечетное число решений.
20. Найдите все $x\geq 0$, при которых из неравенств $abx\geq 2a+9b+x$, $a\geq 0, b\geq 0$ следует неравенство $ab\geq 4$.
21. Найдите все $a$, при которых наименьшее значение квадратного трехчлена $4x^2-4ax+a^2-2a+2$ на отрезке [0; 2] равно 3.
22. При каких p уравнение $(x-p)^2(p(x-p)^2-p-1)=-1$ имеет больше положительных корней, чем отрицательных?
23. При каких $\alpha\ne 0$ количество пар (x; y) целых чисел таких, что $|y|\leq \displaystyle\frac{\alpha^2-x^2}{\alpha^3}$ минимально?
24. При каких $a$ число решений уравнения $4x+x^3=(4^a-0,5)\sqrt{15-3^{5a}}-(2a+1)^2\cdot 4^x$ меньше числа решений уравнения $a^2(2y+a^2-1)=y(3y-1)$?

Ответы к домашнему заданию урока 38 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. {3/2}U{5/3}U[2;4)
2. $[-2\pi;0)\cup (2\pi; 4\pi]$
3. -2; -1
4. 1; 3; 11/12
5. [-12/5; 0]
6. $[2/3-\sqrt{2}; 2/3+\sqrt{2}]$
7. $-3\pm\sqrt{3}$
8. [-1/4; 0]
9. $a\leq -10, a>1/2$
10. $-3; (1+\sqrt{13})/2$
11. -1/4
12. -1/3; 1/6
13. -1/4; -1/32
14. $a\in (-\infty; +\infty), b=2; a=\pm 1, b=-2$
15. $b\leq -1, b\geq 4$
16. [-1/3; 1/3]
17. $a<-3, 1<a<6$
18. $2\pi-8, 2\pi-1, 2\pi$
19. $(6m+3/2)\pi <b\leq (6m+9/2)\pi, m\in Z, m\geq 0$
20. $0<x\leq 4\sqrt{2}$
21. $1-\sqrt{2}; 5+\sqrt{10}$
22. $p\geq 1$
23. (1/2; 1) U (1;2)
24. $a\leq (\log_315)/5, a\ne -1/2$