В.В. Ткачук Математика - абитуриенту. Домашнее задание к уроку 38

Урок 38. [3] Более сложные логические задачи

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

  1. Найдите все a, при которых уравнение ((2x+a)\sqrt{22a-4a^2-24}-2(x^2+x)\lg a)\cdot\lg \frac{36a-9a^2}{35}=0 имеет по крайней мере два корня, один из которых \geq 0, а другой \leq -1.
  2. Найдите все a, при которых система \left\{\begin{array}{l l} \sin x\sin y=\frac{1}{z^2},\\ \cos x\cos y=-\frac{(x+y)^2}{(a-\pi)^2},\\ \sin (x-y)=\frac{2(x+y)}{(a-\pi)z} \end{array}\right. имеет ровно одно решение, удовлетворяющее условиям 0\leq y \leq \pi/2 и z>0.
  3. Даны системы \left\{\begin{array}{l l} x+2y=2-a,\\ -x+ay=a-2a^2 \end{array}\right. и \left\{\begin{array}{l l} x^2-y^4-4x+3=0,\\ 2x^2+y^2+(a^2+2a-11)x+12-6a=0 \end{array}\right.. При каких a они равносильны?
  4. При каких a система \left\{\begin{array}{l l} 3y+2+xy=0,\\ x(y+1-a)+y(2a-3)+a+3=0 \end{array}\right. имеет единственное решение?
  5. При каких a неравенство |3\sin^2 x+2a\sin x\cos x+\cos^2 x+a|\leq 3 выполнено для любого x?
  6. Найдите все a, при которых система \left\{\begin{array}{l l} 9x^2-6xy+y^2+6x-13y+3=0,\\ 13x^2+6xy+10y^2+16x+2y-4ax-6ay+a^2-2a+3=0 \end{array}\right. имеет хотя бы одно решение.
  7. Найдите все a, при которых неравенство -\frac{1}{2}|a+3||x+a+6|+(|a+3|-\displaystyle\frac{a^2+6a+8}{|a+3|}-\frac{1}{2}|a+3||x-a|)\cdot |x+3| \geq -2выполняется ровно для двух значений x.
  8. При каких a уравнение \sqrt{a+\sqrt{a+\sin x}}=\sin x имеет решение?
  9. При каких a система \left\{\begin{array}{l l} y(ax+1)+13x-a(1+y)=0,\\ x-xy+|2+y|=0\end{array}\right. имеет решения?
  10. При каких a ровно одно решение неравенства \sqrt{(a+3)(a^2+a-6)}\cdot x^3-\sqrt{a^4+a^3-6a^2}\cdot x^2 +\sqrt{a^3+3a^2}\cdot x-a^2\leq 0 удовлетворяет условию 1\leq x\leq 4+a?
  11. При каком b система неравенств \left\{\begin{array}{l l} y\geq (x-b)^2,\\ x\geq (y-b)^2 \end{array}\right. имеет единственное решение?
  12. Найдите все числа c и d, для которых наибольшее значение функции y(x)=|4\cdot\displaystyle\frac{3^x+3^{-x}-2}{3^x+3^{-x}+2}+(c+2s)\cdot 2\cdot\displaystyle\frac{3^x-1}{3^x+1}+2c+d| на отрезке [-1; 1] является наименьшим.
  13. Найдите все a, при которых система \left\{\begin{array}{l l} 1-\sqrt{|x-1|}=\sqrt{7|y|},\\ 49y^2+x^2+4a=2x-1\end{array}\right. имеет ровно четыре решения.
  14. Найдите все пары (a;b), для которых система \left\{\begin{array}{l l} x^2-y^2+a(x+y)=x-y+a,\\ x^2+y^2+bxy-1=0\end{array}\right. имеет не менее пяти решений (x; y).
  15. Найдите все b такие, что система \left\{\begin{array}{l l} 2x^2-2xy+10y^2=b^4-6b^3+9b^2-19+\sqrt{85},\\ x^2+2xy-3y^2=4\end{array}\right. имеет хотя бы одно решение.
  16. Найдите все b\in [-1;1] такие, что выражение 1-\sqrt{4x^2+4bxy+y^2+8y+18} принимает наибольшее значение лишь при одной паре (x; y).
  17. При каких a уравнение (a^2-6a+9)(2+2\sin x-\cos^2 x)+(12a-18-2a^2)(1+\sin x)+a+3=0 не имеет решений?
  18. При каких a уравнение \log_{1/\pi}\displaystyle\frac{a^2+4\pi^2+4}{4x-x^2-2(a-2\pi )|x-2|+4\pi a} -\sqrt{(x-5a+10\pi-34)(|\pi-x|-a+\pi+2)}=0 имеет хотя бы одно целочисленное решение?
  19. Найдите все b, при которых система уравнений \left\{\begin{array}{l l} \cos (y-b)-2\cos x=0,\\ \log_2 (by-y^2)=2\log_4 (-x)-\log_{1/2} (3y)\end{array}\right. имеет нечетное число решений.
  20. Найдите все x\geq 0, при которых из неравенств abx\geq 2a+9b+xa\geq 0, b\geq 0 следует неравенство ab\geq 4.
  21. Найдите все a, при которых наименьшее значение квадратного трехчлена 4x^2-4ax+a^2-2a+2 на отрезке [0; 2] равно 3.
  22. При каких p уравнение (x-p)^2(p(x-p)^2-p-1)=-1 имеет больше положительных корней, чем отрицательных?
  23. При каких \alpha\ne 0 количество пар (x; y) целых чисел таких, что |y|\leq \displaystyle\frac{\alpha^2-x^2}{\alpha^3} минимально?
  24. При каких a число решений уравнения 4x+x^3=(4^a-0,5)\sqrt{15-3^{5a}}-(2a+1)^2\cdot 4^x меньше числа решений уравнения a^2(2y+a^2-1)=y(3y-1)?

Ответы к домашнему заданию урока 38 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

  1. {3/2}U{5/3}U[2;4)
  2. [-2\pi;0)\cup (2\pi; 4\pi]
  3. -2; -1
  4. 1; 3; 11/12
  5. [-12/5; 0]
  6. [2/3-\sqrt{2}; 2/3+\sqrt{2}]
  7. -3\pm\sqrt{3}
  8. [-1/4; 0]
  9. a\leq -10, a>1/2
  10. -3; (1+\sqrt{13})/2
  11. -1/4
  12. -1/3; 1/6
  13. -1/4; -1/32
  14. a\in (-\infty; +\infty), b=2; a=\pm 1, b=-2
  15. b\leq -1, b\geq 4
  16. [-1/3; 1/3]
  17. a<-3, 1<a<6
  18. 2\pi-8, 2\pi-1, 2\pi
  19. (6m+3/2)\pi <b\leq (6m+9/2)\pi, m\in Z, m\geq 0
  20. 0<x\leq 4\sqrt{2}
  21. 1-\sqrt{2}; 5+\sqrt{10}
  22. p\geq 1
  23. (1/2; 1) U (1;2)
  24. a\leq (\log_315)/5, a\ne -1/2