Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ на факультет почвоведения. 

Факультет почвоведения МГУ, 2000 г.

1. Решите неравенство $\frac{1}{3-2x}\leq 1$.
2. Первый, второй и четвертый члены арифметической прогрессии одновременно являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической прогрессии. Найдите все значения, которые может принимать знаменатель геометрической прогрессии.
3. Найдите $tg 2\alpha$, если известно, что $\sin\alpha=\frac{4}{5}$, а $\sin 4\alpha>0$.
4. Решите неравенство $\log_x2<\log_{6-x}2$.
5. Решите уравнение $\sin(\pi\sqrt{8-x^2})=0,5$.
6. Биссектрисы внутренних углов треугольника продолжены до точек пересечения с описанной около треугольника окружностью, отличных от вершин исходного треугольника. В результате попарного соединения этих точек получился новый треугольник. Известно, что углы исходного треугольника равны 30, 60 и 90 градусов, а его площадь равна 2. Найдите площадь нового треугольника.
7. Найдите все значения параметра $a$, при которых при любых значениях параметра $b$ уравнение $|x-2|+b|2x+1|=a$ имеет хотя бы одно решение.

Факультет почвоведения МГУ, 2001 г.

1. Решите уравнение $2+\cos 2x=4\cos^2 x$.
2. Решите уравнение $\sqrt{5-x^2}=1-x$.
3. Решите неравенство $\log_{x-2}x\leq \log_{x-2}4$.
4. В треугольнике ABC боковые стороны AB и BC равны. Основание AC равно 2, а угол при основании равен 30 градусам. Из вершины А к боковой стороне BC проведены биссектриса AE и медиана AD. Найдите площадь треугольника ADE.
5. Решите неравенство $2\log_{\pi}(\sin x)\cdot \log_{\pi}(\sin 2x)-\log_{\pi}^2(\sin 2x)\leq \log_{\pi}^2(\sin x)$.
6. Дано задание: на прямоугольном участке земли размером 1 м на 4 м посадить три дерева, одно из которых должно быть в углу участка. Расстояние между любыми двумя деревьями не должно быть меньше 2,5 м. Можно ли выполнить это задание? Ответ обосновать.

Ответы

2000 г.

1. $x\leq 1, x>1,5$
2. 1; 2
3. 24/7
4. 0<x<1, 3<x<5
5. $+-\sqrt{8-((-1)^n/6+n)^2}$, n=0,1,2
6. $1+\sqrt{3}$
7. 5/2

2001 г.

1. $\pi/4+\pi n/2, n \in Z$
2. -1
3. (3; 4]
4. $(2\sqrt{3}-3)/6$
5. $2\pi n<x<\pi/2+2\pi n, n \in Z$
6. нельзя