Математика. Варианты вступительных экзаменов в МГУ. Факультет почвоведения

Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ на факультет почвоведения. 

Факультет почвоведения МГУ, 2000 г.

  1. Решите неравенство \frac{1}{3-2x}\leq 1.
  2. Первый, второй и четвертый члены арифметической прогрессии одновременно являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической прогрессии. Найдите все значения, которые может принимать знаменатель геометрической прогрессии.
  3. Найдите tg 2\alpha, если известно, что \sin\alpha=\frac{4}{5}, а \sin 4\alpha>0.
  4. Решите неравенство \log_x2<\log_{6-x}2.
  5. Решите уравнение \sin(\pi\sqrt{8-x^2})=0,5.
  6. Биссектрисы внутренних углов треугольника продолжены до точек пересечения с описанной около треугольника окружностью, отличных от вершин исходного треугольника. В результате попарного соединения этих точек получился новый треугольник. Известно, что углы исходного треугольника равны 30, 60 и 90 градусов, а его площадь равна 2. Найдите площадь нового треугольника.
  7. Найдите все значения параметра a, при которых при любых значениях параметра b уравнение |x-2|+b|2x+1|=a имеет хотя бы одно решение.

Факультет почвоведения МГУ, 2001 г.

  1. Решите уравнение 2+\cos 2x=4\cos^2 x.
  2. Решите уравнение \sqrt{5-x^2}=1-x.
  3. Решите неравенство \log_{x-2}x\leq \log_{x-2}4.
  4. В треугольнике ABC боковые стороны AB и BC равны. Основание AC равно 2, а угол при основании равен 30 градусам. Из вершины А к боковой стороне BC проведены биссектриса AE и медиана AD. Найдите площадь треугольника ADE.
  5. Решите неравенство 2\log_{\pi}(\sin x)\cdot \log_{\pi}(\sin 2x)-\log_{\pi}^2(\sin 2x)\leq \log_{\pi}^2(\sin x).
  6. Дано задание: на прямоугольном участке земли размером 1 м на 4 м посадить три дерева, одно из которых должно быть в углу участка. Расстояние между любыми двумя деревьями не должно быть меньше 2,5 м. Можно ли выполнить это задание? Ответ обосновать.

Ответы

2000 г.

  1. x\leq 1, x>1,5
  2. 1; 2
  3. 24/7
  4. 0<x<1, 3<x<5
  5. +-\sqrt{8-((-1)^n/6+n)^2}, n=0,1,2
  6. 1+\sqrt{3}
  7. 5/2

2001 г.

  1. \pi/4+\pi n/2, n \in Z
  2. -1
  3. (3; 4]
  4. (2\sqrt{3}-3)/6
  5. 2\pi n<x<\pi/2+2\pi n, n \in Z
  6. нельзя