Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников
-
На каждой из планет некоторой солнечной системы находится астроном, который наблюдает ближайшую планету. Расстояния между планетами попарно различны. Доказать, что если количество планет нечетно, то есть планета, которую никто не наблюдает.
-
Сколькими нулями оканчивается число, полученное от умножения всех чисел от 1 до 100?
-
Для нумерации страниц учебника потребовалось 411 цифр. Сколько страниц в учебнике?
-
На столе лежит 80 одинаковых по виду металлических шариков. Один из них несколько легче остальных. Как найти этот шарик не более чем четырьмя взвешиваниями на чашечных весах без гирь?
-
Из трех рабочих первый и третий произвели продукции в 2 раза больше, чем второй, а второй и третий — в 3 раза больше, чем первый. Кто из трех рабочих заработал больше?
- Три разбойника хотят разделить добычу поровну. Каждый из них уверен, что только он разделил бы добычу на равные части, но другие ему не доверяют. Если бы разбойников было двое, тогда было бы легче выйти из положения: один бы разделил добычу на две части, а второй взял бы ту часть, которая показалась ему большей. Как должны действовать разбойники, чтобы каждый из них был уверен, что его добыча не меньше третьей части всей добычи?
-
Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть полным квадратом.
- На плоскости задано 17 точек, из которых ни одна из трех не лежит на одной прямой. Каждые две точки соединены отрезком одного из трех цветов. Доказать, что существует треугольник с вершинами в данных точках, стороны которого закрашены в один и тот же самый цвет.
- В квадрате со стороною 1 произвольно размещено 126 точек. Доказать, что какие-то 6 из них обязательно лежат в круге, радиус которого равняется 1/7.
- Какие наибольшее и наименьшее значения принимает отношение двузначного числа к сумме его цифр?