Прогрессии

к содержанию справочника

Арифметическая прогрессия

1. Арифметическая прогрессия - числовая последовательность $(a_n)$ со свойством $a_{n+1}=a_n+d$, $n=1,2,3,...$. Число $d$ - разность арифметической прогрессии.
2. При $d>0$ прогрессия возрастает, при $d<0$ прогрессия убывает, при $d=0$ прогрессия постоянна.
3. Формула $n$-го члена: $a_n=a_1+d(n-1)$
4. Свойство: $a_{n+1}-a_n=a_{n+2}-a_{n+1}$
5. Свойство: $d=\displaystyle\frac{a_n-a_m}{n-m}$
6. Характеристическое свойство: $a_{n}=\displaystyle\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$
7. Свойство: если $n+m=k+p$, то $a_n+a_m=a_k+a_p$.
8. Сумма первых $n$ членов прогрессии: $S_n=\displaystyle\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n =\displaystyle \frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$
9. Пример: $2, 5, 8, 11, ...$. Разность $d$ равна 3. Сумма первых 4 членов равна $S_4=\displaystyle\frac{2+11}{2}\cdot 4 = 26$

Геометрическая прогрессия

1. Геометрическая прогрессия - числовая последовательность $(b_n)$ со свойствами: а) $b_1\ne 0$ б) $b_{n+1}=b_n\cdot q$, где  $q\ne 0$  и $n=1,2,3,...$. Число $q$ - знаменатель геометрической прогрессии.
2. При $b_1>0$ и $q>1$ прогрессия является возрастающей, при $b_1>0$ и $0<q<1$ прогрессия является убывающей. При $q<0$ прогрессия является знакочередующейся. При $q=1$ прогрессия постоянна.
3. Формула $n$-го члена: $b_n=b_1q^{n-1}$
4. Свойство: $\displaystyle\frac{b_{n+1}}{b_n}=\displaystyle\frac{b_{n+2}}{b_{n+1}}$
5. Характеристическое свойство: $b_{n}^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$
6. Свойство: если $n+m=k+p$, то $b_n\cdot b_m=b_k\cdot b_p$.
7. Сумма первых $n$ членов: а) если $q\ne 1$, то $S_n=\displaystyle\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$; б) если $q=1$, то $S_n=b_1\cdot n$.
8. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S=\displaystyle\frac{b_1}{1-q}$, если $|q|<1$.
9. Пример: $4,2,1,\displaystyle\frac{1}{2},...$. Знаменатель $q$ равен $\frac{1}{2}$. Сумма первых 4 членов равна $S_4=\displaystyle\frac{4(1-(\frac{1}{2})^4)}{1-\frac{1}{2}}=\frac{15}{2}$. Так как $|q|=\frac{1}{2}<1$, то прогрессия является бесконечно убывающей и $S=\displaystyle\frac{4}{1-\frac{1}{2}}=8$.

дополнительно смотрите Справочник. Формулы для суммирования и Задачи на прогрессии