Текстовые задачи. Прогрессии и ряды

перейти к содержанию курса текстовых задач

1. Сумма второго и четвертого членов арифметической прогрессии равна 16, а произведение первого и пятого ее членов равно 64. Найдите первый член этой прогрессии и ее разность. Решение

2. Найдите количество всех трехзначных натуральных чисел, делящихся на 7. Решение
3. Фруктовый сад имеет форму правильного треугольника, причем в первом его ряду посажено 1 дерево, во втором - 2 дерева, в третьем - 3 дерева и так далее, в $n$-м ряду - $n$ деревьев. Может ли такой сад быть из 105 деревьев? Решение
4. Найдите разность арифметической прогрессии, если ее первый член равен $a$ и для каждого натурального числа $n$ сумма ее первых $n$ членов равна $an^2$. Решение
5. Могут ли числа 10, 25 и 40 в указанном порядке быть членами некоторой арифметической прогрессии? Решение
6. Найдите в арифметической прогрессии $a_7$, если $a_n=22, n = a_1a_2$ и $a_2+a_n=20$. Решение
7. Найдите $2+4+6+...+(2n+2)$. Решение
8. Найдите сумму всех натуральных двузначных чисел, каждое из которых не делится ни на 2, ни на 13. Решение
9. Решите уравнение $(x+1)+(x+4)+...+(x+28)=155$. Решение
10. Геометрическая прогрессия, все члены которой положительны, такова, что $b_{10}=2$ и $b_{15}=3$. Найдите $b_{16}$ и $b_3b_{27}$ Решение
11. Сколько членов геометрической прогрессии нужно сложить, что получить сумму 3069, если $b_1+b_5=51$ и $b_2+b_6=106$? Решение
12. Найдите четыре целых числа, первые три из которых образуют арифметическую прогрессию, а последние три - геометрическую прогрессию. Сумма крайних чисел равна 66, а сумма средних чисел - 60. Решение
13. Найдите сумму $1\cdot2^2+2\cdot 3^2+3\cdot 4^2+...+(n-1)\cdot n^2$ Решение
14. Найдите сумму $1+4+10+20+...+\frac{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)}{1\cdot 2\cdot 3}$ Решение
15. Найдите сумму $\frac{1}{2\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 8}+\frac{1}{8\cdot 11}+...+\frac{1}{(3n-1)\cdot (3n+2)}$ Решение
16. Найдите сумму $1^3+2^3+3^3+...+n^3$ Решение
17. Найдите сумму $\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+...+\frac{n}{2^n}+...$ Решение

Задачи для самостоятельного решения

1. Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии, разность которой отлична от нуля, равна половине сумме следующих $n$ членов. Найдите отношение суммы первых $3n$ членов этой прогрессии к сумме ее первых $n$ членов. Ответ: 6
2. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 13, а сумма квадратов этих же чисел равна 91. Найдите эти числа. Ответ: 9, 3, 1;  1, 3, 9
3. Найдите количество членов геометрической прогрессии, у которой отношение суммы последних четырнадцати членов к сумме первых четырнадцати членов равно 9, а отношение суммы всех членов без первых семи к сумме всех членов без последних семи равно 3. Ответ: 28
4. Первый член арифметической прогрессии равен $1$, а сумма первых девяти членов равна 369. Первый и девятый члены геометрической прогрессии совпадают с первым и девятым членами арифметической прогрессии. Найдите седьмой член геометрической прогрессии. Ответ: 27
5. Найдите сумму $\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+...+\frac{n}{2^n}$
6. Найдите сумму $\frac{1\cdot 2}{2}+\frac{2\cdot 3}{2^2}+\frac{3\cdot 4}{2^3}+...+\frac{n(n-1)}{2^n}$
7. Найдите $3+33+333+...+33..33$, если последнее слагаемое содержит $n$ цифр.
8. Найдите сумму $1+7+19+...+(3n^2-3n+1)$
9. Найдите сумму $\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+4}+\frac{1}{n^2+9}+...+\frac{1}{n^2+(n-1)^2}$
10. Найдите сумму $1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}$