Теория чисел

Задачи 1-20

вернуться к содержанию

1. Докажите, что $M=111...1 - 222...2$ (в правой части первое число состоит из $2n$ единиц, второе число - из $n$ двоек) при любом натуральном $n$ является полным квадратом.
2. Найдите последнюю цифру числа $3^{1999}$
3. Расшифруйте равенство $\overline{MM}+\overline{NKN}=\overline{PQQP}$, где буквами обозначены цифры в десятичной записи чисел.
4. Покажите, что число, имеющее в десятичной записи вид $\overline{abcabc}$, где $a\ne 0, b, c$ - цифры, делится на 7, на 11, на 13.
5. Пусть $p$ - простое число и $p>3$. Докажите, что $p^2-1$ делится нацело на 24.
6. Пусть $p, q$ - простые числа, $p>q>3$ . Докажите, что $p^2-q^2$ делится на 24.
7. Докажите, что число $2^{10}+5^{12}$ является составным
8. Докажите, что число $222^{333}+333^{222}$ не является простым.
9. В академическом собрании сочинений, включающем менее 20 томов, число томов с художественными произведениями кратно числу томов с письмами, которых, в свою очередь, в 3 раза меньше, чем томов с публицистикой. Если число томов с художественными произведениями увеличить в 2 раза, то их станет на 14 больше, чем томов с письмами. Сколько томов с публицистикой в собрании сочинений?
10. На заводе было несколько одинаковых прессов, штампующих детали, и завод выпускал 6480 деталей в день. После реконструкции все прессы заменили на более производительные, но тоже одинаковые, а их число увеличилось на 3. Завод стал выпускать в день 11200 деталей. Сколько прессов было первоначально?
11. За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5% в месяц, затем 12%, потом $11\frac{1}{9}$% и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на $104\frac{1}{6}$%. Определите срок хранения вклада.
12. Доказать, что если сумма цифр числа $m$ равна сумме цифр числа $2m$, то $m$ делится на 9.
13. Найдите цифру Х, при которой число $\overline{5X793X4}$ делится нацело на 3.
14. Найдите все числа вида $n=\overline{34X5Y}$ такие, что $n$ делится без остатка на 36.
15. Докажите, что число $3697^{3697}-1$ делится без остатка на 3696.
16. Докажите, что при любом натуральном $n$ число $n^3+2n$ делится на 3.
17. Докажите, что при любом целом неотрицательном $n$ число $11^{n+2}+12^{2n+1}$ делится на 133.
18. Найдите все натуральные числа, меньшие $10^5$, которые делятся на 1999 и у которых сумма цифр в десятичной записи равна 25.
19. Остаток от деления некоторого натурального числа $n$ на 6 равен 4, остаток от деления на 15 равен 7. Найдите остаток от деления числа на 30.
20. Докажите, что при любом целом $m$ число $m(m^2+5)$ делится без остатка на 6.