Уравнения с модулем с решениями (часть 1)

Уравнения с модулем с решениями (часть 1)

Книги

перейти к содержанию

Свойства модуля (справочник)

1. Найдите корни уравнения |x|\cdot(x+3)=-2

Решение

Так как -2<0 и |x|\ge0 для любого x, то x+3<0\Leftrightarrow x<-3. Поэтому |x|=-x и уравнение принимает вид -x\cdot(x+3)=-2\Leftrightarrow x^2+3x-2=0, откуда x=\displaystyle\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2}. Условию x<-3 удовлетворяет только число \displaystyle\frac{-3-\sqrt{17}}{2}.

Ответ: \displaystyle\frac{-3-\sqrt{17}}{2}

2. Найдите сумму корней уравнения x^2+|x-1|=5

Решение

www.itmathrepetitor.ru Раскроем модуль. Для этого рассмотрим первый случай: x-1\ge0. Тогда x^2+x-1=5\Leftrightarrow x^2+x-6=0. Корнями этого уравнения являются числа -3 и 2. После проверки x\ge1 остается только 2.

Второй случай: x-1<0. Тогда x^2-x+1=5\Leftrightarrow x^2-x-4=0, откуда x=\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}. Условию x<1 удовлетворяет только \displaystyle\frac{1-\sqrt{17}}{2}.

Сумма корней равна 2+\displaystyle\frac{1-\sqrt{17}}{2}=\displaystyle\frac{5-\sqrt{17}}{2}

Ответ: \displaystyle\frac{5-\sqrt{17}}{2}

3. Найдите произведение корней уравнения x^2-12=|x|.

Решение

Пусть |x|=t, тогда t^2-t-12=0, откуда t=4 или t=-3, то есть |x|=4 или |x|=-3. Первое уравнение имеет корни \pm4, второе уравнение корней не имеет, так как -3<0. Значит, произведение корней исходного уравнения равно -16.

Ответ: -16

4. Найдите сумму корней уравнения x^2-4x+2=\displaystyle\frac{|5x-4|}{3}

Решение

www.itmathrepetitor.ru x^2-4x+2=\displaystyle\frac{|5x-4|}{3}\Leftrightarrow|5x-4|=3x^2-12x+6, что равносильно \left[\begin{gathered}5x-4=3x^2-12x+6,\\5x-4=-3x^2+12x-6\end{gathered} \right. при условии 3x^2-12x+6\ge0\Leftrightarrow x\in(-\infty;2-\sqrt{2}]\cup[2+\sqrt{2};+\infty). Корнями первого уравнения совокупности являются числа 5 и \displaystyle\frac{1}{3}, корнями второго - числа 2 и \displaystyle\frac{1}{3}. Неравенству удовлетворяют только 5 и \displaystyle\frac{1}{3}. Значит, сумма корней исходного уравнения равна 5\displaystyle\frac{1}{3}.

Ответ: 5\displaystyle\frac{1}{3}

5. Найдите разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения x^2+\sqrt{x^2}=2,75

Решение

x^2+\sqrt{x^2}=2,75\Leftrightarrow x^2+|x|=2,75. Пусть |x|=t, тогда t^2+t-\displaystyle\frac{11}{4}=0 и t=\displaystyle\frac{-1\pm2\sqrt{3}}{2}, то есть |x|=\displaystyle\frac{-1-2\sqrt{3}}{2} или |x|=\displaystyle\frac{-1+2\sqrt{3}}{2}. Первое уравнение корней не имеет, так как \displaystyle\frac{-1-2\sqrt{3}}{2}<0. Из второго следует, что x=\pm\displaystyle\frac{2\sqrt{3}-1}{2}. Сумма этих корней равна 2\sqrt{3}-1.

Ответ: 2\sqrt{3}-1

6. Найдите сумму корней уравнения |x-\sqrt{3}|=\sqrt{3}\cdot|x-1|

Решение

Уравнение равносильно совокупности \left[\begin{gathered}x-\sqrt{3}=\sqrt{3}x-\sqrt{3},\\x-\sqrt{3}=\sqrt{3}-\sqrt{3}x\end{gathered} \right., откуда \left[\begin{gathered}x=0,\\x=\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}\end{gathered} \right. Избавимся от знаменателя: \displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}=\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{2}=3-\sqrt{3}.

Ответ: 3-\sqrt{3}

7. Найдите сумму корней уравнения |x-2|=3\cdot|x+2|

Решение

www.itmathrepetitor.ru Уравнение равносильно совокупности \left[\begin{gathered}x-2=3x+6,\\x-2=-3x-6\end{gathered} \right., откуда \left[\begin{gathered}x=-4,\\x=-1\end{gathered} \right.. Сумма корней равна -5.

Ответ: -5

8. Решите уравнение |x-7|-|x+2|=9

Решение

Нули модулей равны 7 и -2. Рассмотрим три случая: x\le-2, -2<x\le7, x>7. Для каждого из них модули раскрываются с определенным знаком.

Первый случай. x\le-2

-x+7+x+2=9\Leftrightarrow0=0, то есть x - любое число. С учетом ограничения случая, x\le-2.

Второй случай. -2<x\le7

-x+7-x-2=9\Leftrightarrow x=-2. С учетом ограничения случая, корней нет.

Третий случай. x>7

x-7-x-2=9\Leftrightarrow-9=9, то есть корней нет.

Ответ: (-\infty;-2]

9. Найдите сумму корней уравнения 3\cdot|x-1|=|2x-1|+3

Решение

Нули модулей равны 1/2 и 1. Рассмотрим три случая: x\le1/2, 1/2<x\le1, x>1. Для каждого из них модули раскрываются с определенным знаком.

Первый случай. x\le1/2

-3x+3=-2x+1+3\Leftrightarrow x=-1. Найденный корень удовлетворяет ограничению случая.

Второй случай. 1/2<x\le1

-3x+3=2x-1+3\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{1}{5}. С учетом ограничения случая, корней нет.

Третий случай. x>1

3x-3=2x-1+3\Leftrightarrow x=5. Найденный корень удовлетворяет ограничению случая.

Сумма корней исходного уравнения равна -1+5=4.

Ответ: 4

10. Найдите произведение корней уравнения |x^2-3x-5|=|x+1|

Решение

Уравнение равносильно совокупности \left[\begin{gathered}x^2-3x-5=x+1,\\x^2-3x-5=-x-1\end{gathered} \right., откуда \left[\begin{gathered}x=2\pm\sqrt{10},\\x=1\pm\sqrt{5}\end{gathered} \right.. Произведение корней равно 24.

Ответ: 24

смотрите раздел "Математика"

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *