Уравнения с модулем с решениями (часть 1)
1. Найдите корни уравнения
Решение
Так как и для любого , то . Поэтому и уравнение принимает вид , откуда . Условию удовлетворяет только число .
Ответ:
2. Найдите сумму корней уравнения
Решение
www.itmathrepetitor.ru Раскроем модуль. Для этого рассмотрим первый случай: . Тогда . Корнями этого уравнения являются числа и . После проверки остается только .
Второй случай: . Тогда , откуда . Условию удовлетворяет только .
Сумма корней равна
Ответ:
3. Найдите произведение корней уравнения .
Решение
Пусть , тогда , откуда или , то есть или . Первое уравнение имеет корни , второе уравнение корней не имеет, так как . Значит, произведение корней исходного уравнения равно .
Ответ:
4. Найдите сумму корней уравнения
Решение
www.itmathrepetitor.ru , что равносильно при условии . Корнями первого уравнения совокупности являются числа и , корнями второго - числа и . Неравенству удовлетворяют только и . Значит, сумма корней исходного уравнения равна .
Ответ:
5. Найдите разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения
Решение
. Пусть , тогда и , то есть или . Первое уравнение корней не имеет, так как . Из второго следует, что . Сумма этих корней равна .
Ответ:
6. Найдите сумму корней уравнения
Решение
Уравнение равносильно совокупности , откуда Избавимся от знаменателя: .
Ответ:
7. Найдите сумму корней уравнения
Решение
www.itmathrepetitor.ru Уравнение равносильно совокупности , откуда . Сумма корней равна .
Ответ:
8. Решите уравнение
Решение
Нули модулей равны и . Рассмотрим три случая: . Для каждого из них модули раскрываются с определенным знаком.
Первый случай.
, то есть - любое число. С учетом ограничения случая, .
Второй случай.
. С учетом ограничения случая, корней нет.
Третий случай.
, то есть корней нет.
Ответ:
9. Найдите сумму корней уравнения
Решение
Нули модулей равны и . Рассмотрим три случая: . Для каждого из них модули раскрываются с определенным знаком.
Первый случай.
. Найденный корень удовлетворяет ограничению случая.
Второй случай.
. С учетом ограничения случая, корней нет.
Третий случай.
. Найденный корень удовлетворяет ограничению случая.
Сумма корней исходного уравнения равна .
Ответ:
10. Найдите произведение корней уравнения
Решение
Уравнение равносильно совокупности , откуда . Произведение корней равно .
Ответ: