Уравнения с модулем с решениями (часть 2)

Уравнения с модулем с решениями (часть 2)

Книги

перейти к содержанию

Свойства модуля (справочник)

11.  Найдите среднее арифметическое корней уравнения |x^3-8x+4|=8x+4

Решение

Уравнение равносильно совокупности \left[\begin{gathered}x^3-8x+4=8x+4,\\x^3-8x+4=-8x-4\end{gathered} \right. при условии 8x+4\ge0\Leftrightarrow x\in[-0,5;+\infty). Уравнения можно упростить к виду  \left[\begin{gathered}x(x-4)(x+4)=0,\\x^3=-8\end{gathered} \right., откуда x=0, x=-2 или x=\pm 4. Неравенству удовлетворяют только 0 и 4. Среднее арифметическое корней равно \displaystyle\frac{0+4}{2}=2.

Ответ:  2

12. Решите уравнение \displaystyle\frac{|x-1|+|x+3|-4}{\sqrt{7-x^2}}=0

Решение

Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то 7-x^2>0\Leftrightarrow x\in (-\sqrt{7};\sqrt{7}). Рассмотрим два случая: x\in(-\sqrt{7};1] и x\in(1;\sqrt{7}).

Первом случае числитель равен -x+1+x+3-4=0\Leftrightarrow0=0, то есть все числа из промежутка (-\sqrt{7};1] являются решением исходного уравнения.

Во втором случае x-1+x+3-4=0\Leftrightarrow x=1. Но x\in(1;\sqrt{7}). Поэтому корней нет.

Ответ: (-\sqrt{7};1]

13. Решите уравнение \displaystyle\frac{|2x+1|-|2x-3|-4}{\sqrt{x^2-5x-6}}=0

Решение

Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то x^2-5x-6>0\Leftrightarrow x\in (-\infty;-1)\cup(6;+\infty). Рассмотрим два случая: x\in(-\infty;-1) и x\in(6;\infty).

Первом случае числитель равен -2x-1+2x-3=4\Leftrightarrow-4=4, то есть корней нет.

Во втором случае 2x+1-2x+3-4=0\Leftrightarrow 0=0, то есть все числа из промежутка (6;+\infty) являются решением исходного уравнения.

Ответ: (6;+\infty)

14. Найдите сумму корней уравнения ||x+1|-3|=3

Решение

Уравнение равносильно совокупности \left[\begin{gathered}|x+1|-3=3,\\|x+1|-3=-3\end{gathered} \right. \Leftrightarrow\left[\begin{gathered}|x+1|=6,\\|x+1|=0\end{gathered} \right.. Первое уравнение равносильно \Leftrightarrow\left[\begin{gathered}x+1=6,\\x+1=-6\end{gathered} \right., откуда x=5 или x=-7. Решением второго уравнения является x=-1. Сумма корней равна -1+5-7=-3.

Ответ: -3

15. Найдите количество целых корней уравнения |2x^2-3x+4|=|3x-2|+2x^2+2 на отрезке [-5;5]

Решение

|2x^2+2|+|2-3x|=|2x^2-3x+4|. Применим следующее утверждение: |a|+|b|=|a+b|\Leftrightarrow ab\ge0. Тогда (2x^2+2)(2-3x)\ge0\Leftrightarrow 2-3x\ge 0 \Leftrightarrow x\le\displaystyle\frac{2}{3}. Целые числа: -5,-4,-3,-2,-1,0.

Ответ: 6

16. Найдите количество натуральных корней уравнения |5x-x^2-8|+|x-9|=x^2-6x+17

Решение

|x^2-5x+8|+|9-x|=x^2-6x+17. Так как |a|+|b|=a+b\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l l} a\ge0,\\ b\ge0\end{array}\right., то уравнение равносильно системе неравенств \left\{\begin{array}{l l} 9-x\ge0,\\ x^2-5x+8\ge0\end{array}\right., откуда x\le9. Натуральные корни исходного уравнения: 1,2,3,...,9.

Ответ: 9

17. Определите, при каких значениях параметра a уравнение |x+4|+|x-10|=a имеет ровно два корня.

Решение

Ответ: (14;+\infty)

18. При каких значениях параметра a уравнение |x-10|+|x+2|=a имеет бесконечно много корней?

Решение

Ответ: 12

19. При каких значениях параметра a уравнение |2-|x-1||=a имеет ровно четыре корня?

Решение

Ответ: (0;2)

20. При каких значениях параметра a система \left\{\begin{array}{l l} |x|+|y|=1,\\ y=a-|x|\end{array}\right. имеет более одного решения?

Решение

Ответ: (-1;1]

смотрите раздел "Математика"

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *