Всероссийская олимпиада школьников

2016-2017

Муниципальный этап

10 класс

Работа рассчитана на 240 мин

1. На листе бумаги построили параболу — график функции y = ax² + bx + c при a > 0, b > 0 и c < 0, — а оси координат стёрли. Как они могли располагаться? (Изобразите любой пример, соответствующий указанным знакам коэффициентов, не изменяя положения самой параболы.)  
2. Сумма двух целых чисел равна S. Маша умножила левое число на целое число a, правое — на целое число b, сложила эти произведения и обнаружила, что полученная сумма делится на S. Алёша, наоборот, левое число умножил на b, а правое — на a. Докажите, что и у него аналогичная сумма разделится на S.
3. В зоопарке есть 10 слонов и огромные чашечные весы. Известно, что если любые четыре слона встанут на левую чашу весов, а любые три — на правую, то левая чаша перевесит. Три слона встали на левую чашу и два — на правую. Обязательно ли левая чаша перевесит?
4. Из вершины тупого угла A треугольника ABC опущена высота AD. Проведена окружность с центром D и радиусом DA, которая вторично пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Найдите AC, если AB = c, AM = m и AN = n
5. Вася разобрал каркас треугольной пирамиды в кабинете математики и хочет из её шести рёбер составить два треугольника так, чтобы каждое ребро являлось стороной ровно одного треугольника. Всегда ли Вася сможет это сделать?
6. 100 включённых и 100 выключенных фонариков случайным образом разложены по двум коробкам. У каждого фонарика есть кнопка, нажатие которой выключает горящий фонарик и зажигает выключенный. Ваши глаза завязаны, и Вы не можете видеть, горит ли фонарик. Но Вы можете перекладывать фонарики из коробки в коробку и нажимать на них кнопки. Придумайте способ добиться того, чтобы горящих фонариков в коробках стало поровну.

11 класс

Работа рассчитана на 240 мин

1. Имеет ли отрицательные корни уравнение x⁴ − 4x³ − 6x² − 3x + 9 = 0?
2. Вася вписал в клетки таблицы 4 × 18 натуральные числа от 1 до 72 в некотором одному ему известном порядке. Затем для каждого из восемнадцати столбцов он перемножил стоящие в нём четыре числа и вычислил сумму цифр полученного произведения. Могли ли все восемнадцать сумм оказаться одинаковыми?
3. Правильный пятиугольник и правильный двадцатиугольник вписаны в одну и ту же окружность. Что больше: сумма квадратов длин всех сторон пятиугольника или сумма квадратов длин всех сторон двадцатиугольника?
4. Дана треугольная пирамида ABCD с плоскими прямыми углами при вершине D, в которой CD = AD + DB. Докажите, что сумма плоских углов при вершине C равна 90◦.
5. www.itmathrepetitor.ru Функция f(x) определена для всех действительных чисел, причем для любого x выполняются равенства: f(x+2) = f(2 − x) и f(x + 7) = f(7 − x). Докажите, что f(x) — периодическая функция.
6. Каждое целое число на координатной прямой покрашено в один из двух цветов — белый или черный, причем числа 2016 и 2017 покрашены в разные цвета. Обязательно ли можно найти три одинаково покрашенных целых числа, сумма которых равна нулю?

Олимпиады для школьников