Вступительный экзамен в ШАД 25 мая 2014

Вступительный экзамен в ШАД 25 мая 2014

яндекс

Вступительный экзамен в Школу анализа данных
25 мая 2014

Экзамен длится 4 часа

Условия задач

  1. Пусть \(A\) - квадратная матрица, у которой сумма матричных элементов в каждом столбце равна \(\lambda\). Докажите, что \(\lambda\) является собственным значением матрицы \(A\).
  2. На плоскости зафиксированы две точки A и B на расстоянии 2. Пусть C - случайно выбранная точка круга радиуса R с центром в середине отрезка AB. С какой вероятностью треугольник ABC будет тупоугольным?
  3. Требуется отгадать число от 1 до n (n>10), задавая лишь вопросы, на которые можно отвечать "да" или "нет"; при этом отвечающий может один раз солгать. Придумайте алгоритм, гарантированно позволяющий сделать это быстрее, чем \(2\lceil log_2 n\rceil+1\) за шагов.
  4. Найдите интеграл \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\displaystyle\frac{\sin^{2014}x}{\sin^{2014}x+\cos^{2014}x}dx\)
  5. Зададим числовую последовательность \(a_n\) следующим образом. Пусть \(a_1\) и \(a_2\) - произвольные натуральные числа. Число \(a_n\) получается приписыванием к \(a_{n-1}\) числа \(a_{n-2}\) справа. Предложите алгоритм, вычисляющий по данным \(a_1\) и \(a_2\) \(i\)-ю цифру числа \(a_n\) и оцените его временную сложность. Ограничение по памяти: O(1).
  6. Пусть функция \(f\) непрерывна и ограничена на промежутке \((x_0,+\infty)\). Докажите, что для любого числа \(T\) существует последовательность {\(x_n\)}, стремящиеся к \(+\infty\) и такая, что \(f(x_n+T)-f(x_n)\to0\) при \(n\to\infty\).
  7. Найдите максимальное значение определителя матрицы (а) второго (б) третьего порядка, если сумма квадратов всех ее элементов не превосходит 1.
  8. В компании из 51 человека каждый на дух не переносит ровно троих (при этом они не обязательно отвечают ему взаимностью). Требуется разделить компанию на n групп так, чтобы каждый человек входил только в одну группу, и между членами каждой из групп царило взаимопонимание. При каком наименьшем n это возможно?

Все материалы для подготовки

смотрите еще Контрольная работа от Яндекс, март 2015 г. и Задачи вступительных экзаменов