Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ на биологический факультет.
Биологический факультет МГУ, 2000 г.
- Решите неравенство .
- Решите уравнение .
- Дан треугольник ABC со сторонами AB = 6, AC = 4, BC = 8. Точка D лежит на стороне AB, а точке E - на стороне AC, причем AD = 2, AE = 3. Найдите площадь треугольника ADE.
- Решите неравенство .
- Внутри правильной треугольной призмы со стороной основания, равной , лежат три шара одинакового радиуса, каждый из которых касается двух других шаров, двух боковых граней и обоих оснований призмы. Четвертый шар касается трех вышеупомянутых шаров и верхнего основания призмы. Найдите радиус четвертого шара.
Биологический факультет МГУ, 2001 г.
- Решите неравенство .
- Решите уравнение .
- Решите неравенство .
- По каждой из двух дорожек, имеющих форму окружностей одного радиуса, движется по одному мотоциклу. Они одновременно начали движение и едут с разными постоянными скоростями. Каждый мотоциклист проезжает дорожку за целое число минут. Известно, что не ранее, чем через 31 минуту и не позднее, чем через 43 минуты после начала движения произошли следующие два события: первый мотоциклист проехал свою окружность 11 раз, а второй мотоциклист проехал свою окружность 4 раза, - и разрыв во времени между этими событиями составил не менее 4 минут. Найдите отношение скоростей мотоциклистов.
- В треугольник MNK со сторонами MN = 6, NK = 7 и углом при вершине N вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне MN, одна на стороне NK и одна на стороне MK. Через середину стороны MN и центр квадрата проведена прямая, которая пересекается с высотой KR треугольника MNK в точке О. Найдите длину отрезка OK.
- Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений имеет ровно одно решение на отрезке .
Ответы
2000 г.
- -6<x<3/2, 3/2<x<2, 2<x<5/2, 5/2<x<19
2001 г.
- x=-11; x>5
- 10/3