Математика. Варианты вступительных экзаменов в МГУ. Физический факультет

Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ на физический факультет. 

Физический факультет МГУ, 2003 г.

  1. Решите уравнение tg^2x-6\cos 2x=6.
  2. Решите неравенство |x^2+3x|+x^2-2\geq 0.
  3. Решите неравенство \log_{25}(5^x-1)\cdot\log_5(5^{x+2}-25)<4.
  4. В трапеции KLMN с основаниями LM и KN точка А - середина отрезка MN, LA - биссектриса угла KLM, средняя линия равна \sqrt{5}, KA = 4. Найдите LA.
  5. Решите систему уравнений \left\{\begin{array}{l l} \sqrt{x-y}=9-|x+2y|,\\x(x+4y-2)+y(4y+2)=41\end{array}\right..
  6. В треугольнике KLM радиус описанной окружности равен R, угол К равен \alpha, точка О - центр окружности, вписанной в этот треугольник. Прямая КО пересекает окружность, описанную около треугольника KLM, в точке N. Найдите ON.
  7. Для каждого значения a решите неравенство \frac{x^2\cdot 2^{|2a-1|}-2x+1}{x^2-(a-2)x-2a}>0.
  8. В пирамиде SLMN даны ребра: LM = 5, MN = 9, NL = 10. Сфера радиуса 5\sqrt{14}/4 касается плоскости основания LMN и боковых ребер пирамиды. Точки касания делят эти ребра в равных отношениях, считая от вершины S. Найдите объем пирамиды.

Физический факультет МГУ, 2004 г.

  1. Решите уравнение \cos x-\cos 3x=\sqrt{7}\sin 2x.
  2. Решите неравенство \frac{2}{4-\sqrt{x}}<1.
  3. Решите уравнение \frac{5^x}{2^{x-1}-5^x}=8-\frac{2^{x+1}}{5^x}.
  4. В правильной треугольной пирамиде отношение бокового ребра к высоте пирамиды равно 2. Найдите отношение радиуса вписанного в пирамиду шара к стороне основания пирамиды.
  5. Решите неравенство \log_5((2+x)(x-5))>\log_{25}(x-5)^2.
  6. В параллелограмме ABCD биссектриса тупого угла BAD пересекает сторону CD в точке M такой, что DM : MC = 2 : 1, угол CAM равен \alpha. Найдите угол BAD.
  7. При каких значениях p уравнение 4(x-\sqrt{p4^p})x+4(4^p-1)+p=0 имеет корни и каковы знаки корней при различных значениях p?
  8. Сторона KL прямоугольника KLMN служит высотой конуса с вершиной L, радиус основания этого конуса в три раза длиннее отрезка NK, KL = 6. Шар касается плоскости прямоугольника KLMN в точке M и имеет единственную общую точку с конусом. Найдите радиус шара. Решение

Ответы

2003 г

  1. \pm\pi/3+\pi n, n \in Z
  2. x\leq 2/3, x\geq 1/2
  3. (\log_5 626-4;\log_5 26)
  4. 2
  5. x=5, y=1; x=1/3, y=-11/3.
  6. 2R\sin (\alpha /2)
  7. Если а = 1/2, то x<-2, 1/2<x<1, x>1; если a<-2, то  x<a, x>-2; если a = -2, то x<-2, x>-2; в остальных случаях x<-2, x>a.
  8. 1125/224

2004 г

  1. \pi n/2, n \in Z
  2. 0\leq x <4, x>16
  3. \log_{2/5}3
  4. 1/(\sqrt{3}(\sqrt{7}+\sqrt{3}))
  5. x<-3, x>5
  6. 2arctg(5tg\alpha)
  7. Корни существуют при p = 0 (только x = 0) и при p\geq 4, когда все корни положительны
  8. 2