Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ на физический факультет. 

Физический факультет МГУ, 2003 г.

1. Решите уравнение $tg^2x-6\cos 2x=6$.
2. Решите неравенство $|x^2+3x|+x^2-2\geq 0$.
3. Решите неравенство $\log_{25}(5^x-1)\cdot\log_5(5^{x+2}-25)<4$.
4. В трапеции KLMN с основаниями LM и KN точка А - середина отрезка MN, LA - биссектриса угла KLM, средняя линия равна $\sqrt{5}$, KA = 4. Найдите LA.
5. Решите систему уравнений $\left\{\begin{array}{l l} \sqrt{x-y}=9-|x+2y|,\\x(x+4y-2)+y(4y+2)=41\end{array}\right.$.
6. В треугольнике KLM радиус описанной окружности равен R, угол К равен $\alpha$, точка О - центр окружности, вписанной в этот треугольник. Прямая КО пересекает окружность, описанную около треугольника KLM, в точке N. Найдите ON.
7. Для каждого значения $a$ решите неравенство $\frac{x^2\cdot 2^{|2a-1|}-2x+1}{x^2-(a-2)x-2a}>0$.
8. В пирамиде SLMN даны ребра: LM = 5, MN = 9, NL = 10. Сфера радиуса $5\sqrt{14}/4$ касается плоскости основания LMN и боковых ребер пирамиды. Точки касания делят эти ребра в равных отношениях, считая от вершины S. Найдите объем пирамиды.

Физический факультет МГУ, 2004 г.

1. Решите уравнение $\cos x-\cos 3x=\sqrt{7}\sin 2x$.
2. Решите неравенство $\frac{2}{4-\sqrt{x}}<1$.
3. Решите уравнение $\frac{5^x}{2^{x-1}-5^x}=8-\frac{2^{x+1}}{5^x}$.
4. В правильной треугольной пирамиде отношение бокового ребра к высоте пирамиды равно 2. Найдите отношение радиуса вписанного в пирамиду шара к стороне основания пирамиды.
5. Решите неравенство $\log_5((2+x)(x-5))>\log_{25}(x-5)^2$.
6. В параллелограмме ABCD биссектриса тупого угла BAD пересекает сторону CD в точке M такой, что DM : MC = 2 : 1, угол CAM равен $\alpha$. Найдите угол BAD.
7. При каких значениях $p$ уравнение $4(x-\sqrt{p4^p})x+4(4^p-1)+p=0$ имеет корни и каковы знаки корней при различных значениях $p$?
8. Сторона KL прямоугольника KLMN служит высотой конуса с вершиной L, радиус основания этого конуса в три раза длиннее отрезка NK, KL = 6. Шар касается плоскости прямоугольника KLMN в точке M и имеет единственную общую точку с конусом. Найдите радиус шара. Решение

Ответы

2003 г

1. $\pm\pi/3+\pi n, n \in Z$
2. $x\leq 2/3, x\geq 1/2$
3. $(\log_5 626-4;\log_5 26)$
4. 2
5. x=5, y=1; x=1/3, y=-11/3.
6. $2R\sin (\alpha /2)$
7. Если а = 1/2, то x<-2, 1/2<x<1, x>1; если a<-2, то  x<a, x>-2; если a = -2, то x<-2, x>-2; в остальных случаях x<-2, x>a.
8. 1125/224

2004 г

1. $\pi n/2, n \in Z$
2. $0\leq x <4, x>16$
3. $\log_{2/5}3$
4. $1/(\sqrt{3}(\sqrt{7}+\sqrt{3}))$
5. x<-3, x>5
6. $2arctg(5tg\alpha)$
7. Корни существуют при p = 0 (только x = 0) и при $p\geq 4$, когда все корни положительны
8. 2