Математика. Варианты вступительных экзаменов в МГУ. Социологический факультет

Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ на социологический факультет. 

Социологический факультет МГУ, 2003 г.

  1. Решите уравнение \sqrt{2x+3}+\sqrt{x-2}=\sqrt{3x+7}.
  2. Решите неравенство \frac{1}{2}\log_{0,1}(6+x)\leq \log_{0,1}x.
  3. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Радиус окружности равен 2, сторона AB равна 3. Диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. Найдите CD.
  4. В городе N на должность мэра на выборах баллотировались 3 кандидата: Акулов, Баранов и Воробьев. В начале предвыборной кампании предпочтения избирателей распределялись как 1 : 2 : 1. По окончании предвыборной гонки 40% избирателей города N отказались участвовать в выборах, у остальных же предпочтения изменились. Сколько сторонников каждого кандидата отказались от голосования, если по окончании предвыборной гонки соотношение голосов стало 3 : 3 : 3,6?
  5. Двое рабочих изготовили 316 деталей, причем вторым сделано на 4 детали меньше первого. Известно, что первый рабочий работал на 3 дня дольше второго, при этом в день изготовлял на 2 детали меньше. Сколько деталей в день делал каждый рабочий?
  6. Определите все значения параметра a, при каждом из которых три различные корня уравнения x^3+(a^2-9a)x^2+8ax-64=0 образуют геометрическую прогрессию. Найдите эти корни.

Социологический факультет МГУ, 2004 г.

  1. Решите неравенство \frac{x^2-2x-15}{x^2+2x+15}\leq 0.
  2. Решите уравнение 4\sin^2 3x-2\cos^2 (x-\pi)-\sin\frac{\pi}{2}\cdot\cos\frac{\pi}{2}=\sin (2x-\frac{\pi}{2}).
  3. Популярность продукта А за 2002 год выросла на 10%, в следующем году снизилась на 20%, а в конце 2004 года сравнялась с популярностью продукта Б. Популярность продукта Б в 2002 году выросла на 20%, затем на протяжении одного года не изменялась, а за 2004 год снизилась на 10%. Как изменилась популярность продукта А за 2004 год, если в начале 2002 года она составляла 3/4 от популярности продукта Б?
  4. В треугольнике ABC угол при вершине B равен \pi/2, а длины отрезков, соединяющих центр вписанной окружности с вершинами А и С, равны 3 и \sqrt{2} соответственно. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
  5. Три числа, являющиеся длинами ребер прямоугольного параллелепипеда с диагональю 2\sqrt{6}, образуют арифметическую прогрессию. Кубы этих чисел тоже образуют арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.
  6. Для каждого положительного значения параметра c изобразите множество тех пар (b; a), для каждой из которых уравнение -2ax^2-bc+c+a/8=0 имеет два различных положительных корня, и указать все значения параметра b, при каждом из которых множество соответствующих значений a является интервалом.

Ответы

2003 г

  1. 3
  2. (0; 3]
  3. \sqrt{7}
  4. 25%, 62,5%, 10%
  5. Первый 10, второй 12
  6. a=7, корни 2, 4 и 8

2004 г

  1. [-3; 5]
  2. \pm\pi/18+\pi k/3, k \in Z
  3. Выросла на 700/11 %
  4. 3/\sqrt{17}
  5. 2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}
  6. b>4c