Урок 44[2]. Стереометрия. Вспомогательные задачи

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. Докажите, что если двугранные углы трехгранного угла прямые, то его плоские углы тоже прямые.
2. Докажите, что трехгранные углы равны, если равны их соответственные двугранные углы.
3. Докажите, что сумма двух плоских углов трехгранного угла больше третьего плоского угла.
4. Докажите, что сумма двугранных углов трехгранного угла больше $\pi$ .
5. Луч SC₁ лежит внутри трехгранного угла SABC с вершиной S. Докажите, что сумма плоских углов трехгранного угла SABC больше суммы плоских углов трехгранного угла SABC₁.
6. Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ - плоские углы трехгранного угла, а A, B, C - его двугранные углы. Докажите, что имеет место равенство $\cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos\alpha$ - это утверждение называется второй теоремой косинусов для трехгранного угла.
7. Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ - плоские углы трехгранного угла, а противоположные им ребра образуют с плоскостями граней углы a, b и с. Докажите, что $\sin\alpha+\sin a=\sin\beta\sin b=\sin\gamma\sin c$.
8. Докажите, что если все плоские углы трехгранные угла тупые, то все его двугранные углы тоже тупые.
9. Докажите, что если все двугранные углы трехгранного угла острые, то и все его плоские углы тоже острые.
10. Проведя через каждое ребро тетраэдра плоскость, параллельную противоположному ребру, можно достроить тетраэдр до параллелепипеда. Докажите, что при таком достраивании тетраэдра получается прямоугольный параллелепипед, если и только если все грани тетраэдра есть равные треугольники.
11. Две окружности, не лежащие в одной плоскости, пересекаются в двух различных точках А и В. Докажите, что существует единственная сфера, содержащая обе эти окружности.
12. Шар радиуса r касается всех ребер треугольной пирамиды. Центр шара лежит внутри пирамиды на ее высоте на расстоянии r$\sqrt{3}$ от вершины. Докажите, что пирамида правильная.
13. Шар касается боковых граней треугольной пирамиды в точках пересечения их высот. Докажите, что пирамида правильная.
14. Шар касается всех боковых граней треугольной пирамиды в центрах описанных около них окружностей. Известно, кроме того, что все плоские углы при вершине пирамиды равны. Докажите, что пирамида правильная.
15. Шар касается всех боковых граней треугольной пирамиды в точках пересечения их медиан. Докажите, что пирамида правильная.
16. Шар касается всех боковых граней треугольной пирамиды в точках пересечения их биссектрис. Докажите, что пирамида правильная.
17. Дана треугольная пирамида SABC. Шар касается всех сторон треугольника ABC в их серединах и проходит через середины ребер SA, SB и SC. Докажите, что пирамида правильная.
18. Докажите, что если все двугранные углы тетраэдра равны, то он правильный.
19. Докажите, что объем тетраэдра ABCD равен $V=\frac{1}{6}AB\cdot AC\cdot AD\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma\cdot\sin D$, где $\beta$ и $\gamma$ - плоские углы при вершине А, противоположные ребрам АВ и АС, а D - двугранный угол при ребре AD.
20. Площади двух граней тетраэдра равны $S_1$ и $S_2$. Известно, что длина их общего ребра равна $a$, а двугранный угол между ними равен $\alpha$. Докажите, что объем тетраэдра равен $V=\frac{2S_1S_2\sin\alpha}{3a}$.