Теория чисел

Задачи 101-120

вернуться к содержанию

101. Целое число кратно 7 и при делении на 4 дает в остатке 3. Найдите остаток от деления этого числа на 28.
102. Найдите наибольшее четырехзначное число, делящееся на 31.
103. Число 100 разделили на некоторое число, меньшее 50, и получили в остатке 6. На какое число делили 100?
104. Может ли число делиться на 8, а при делении на 12 давать остаток 10?
105. Было 5 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на 5 кусков каждый. Затем некоторые из получившихся кусков снова разрезали на 5 частей и так далее несколько раз. Могли ли в результате получить 2003 куска?
106. Докажите, что если $a>b>0$, то остаток, который дает число $a$ при делении на b, меньше $\frac{a}{2}$.
107. Найдите остаток от делении $2^n$ на 3
108. Докажите, что если $n$ нечетно, то $4^n+1$ делится на 5
109. Докажите, что $9^{30}+6^{19}$ делится на 7
110. Докажите, что $n^2+2n$ делится на 8, если $n$ четно.
111. Какие остатки может иметь квадрат целого числа от деления на 3, на 5, на 7?
112. Докажите, что разность квадратов чисел, не делящихся на 3, делится на 3.
113. Докажите, что произведение трех последовательных целых чисел делится на 6.
114. Докажите, что произведение пяти последовательных целых чисел делится на 120.
115. Докажите, что произведение трех последовательных четных чисел делится на 48.
116. Докажите, что $n^3+5n$ делится на 6 для любого целого $n$
117. Докажите, что $n^5-15n^3+54n$ делится на 5 при любом целом $n$
118. Докажите, что уравнение $x^2=3y+2$ не имеет решений в целых числах
119. Докажите, что уравнение $x^3-7y^3=2$ не имеет решений в целых числах
120. Решите уравнение $2x^3+y^3=5$ в целых числах