ЕГЭ по математике 2015

Тренировочная работа 22 апреля 2015 МИОО

Профильный уровень

Условия задач с ответами и решениями 

1. Стоимость полугодовой подписки на журнал составляет 830 рублей, а стоимость одного номера журнала - 37 рублей. За полгода Аня купила 25 номеров журнала. На сколько рублей меньше она бы потратила, если бы подписалась на журнал? Решение
2. Мощность отопителя в автомобиле регулируется дополнительным сопротивлением. При этом меняется сила тока в электрической цепи электродвигателя: чем меньше сопротивление, тем больше сила тока и тем быстрее вращается мотор отопителя.На графике показана зависимость силы тока от величины сопротивления. На горизонтальной оси отмечено сопротивление в омах, на вертикальной оси - сила тока в амперах. Определите по графику, сколько ампер составляет сила тока в цепи при сопротивлении 1 Ом.  Решение
3. Керамическая плитка одной и той же торговой марки выпускается трех разных размеров. Плитки упакованы в пачки и продаются только пачками. Требуется купить плитку, чтобы облицевать пол квадратной комнаты со стороной 3 м 60 см. Размеры плитки, количество плиток в пачке и стоимость приведены в таблице. Во сколько рублей обойдется наиболее дешевый вариант покупки?
   

   Размер плитки	Количество плиток в пачке	Цена плитки (руб за пачку)
   30 см х 40 см	11	693
   30 см х 30 см	14	667,8
   20 см х 40 см	16	704

4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен параллелограмм ABDС. Найдите его высоту, опущенную на сторону АС. 
5. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. Решение
6. Найдите корень уравнения $\displaystyle\frac{x+89}{x-7}=\frac{-5}{x-7}$ Решение
7. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен вписанный в окружность угол АВС. Найдите его градусную величину.  Решение
8. На рисунке изображен график функции $y=F(x)$ - одной из первообразных функции $f(x)$, определенной на интервале $(-3;4)$. Найдите количество решений уравнения $f(x)=0$ на отрезке $[-2;3]$. 
9. Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ с основанием $ABCDEF$, если объем треугольной пирамиды $SABC$ равен 33.
10. Найдите значение выражения $\sqrt{50}\cos^2\displaystyle\frac{3\pi}{8}-\sqrt{50}\sin^2\frac{3\pi}{8}$ Решение
11. Рейтинг $R$ интернет-магазина вычисляется по формуле $R=r_p-\displaystyle\frac{r_p-r_e}{(K+1)^m}$, где $m=\displaystyle\frac{0,02K}{r_p+0,1}$, $r_p$ - средняя оценка магазина покупателями, $r_e$ - оценка магазина, данная экспертами, $K$ -число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно 7, их средняя оценка равна 0,32, а оценка экспертов равна 0,22.
12. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12, боковое ребро призмы равно 8. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Решение
13. Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 22 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 418 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. Решение
14. Найдите точку максимума функции $y=(54-x)\cdot e^{x+54}$ Решение
15. а) Решите уравнение $\cos 2x-3\cos x+2=0$ б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $[-4\pi; -5\pi/2]$. Решение
16. На ребре $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $E$ так, что $A_1E:EA=5:3$, на ребре $BB_1$ - точка $F$ так, что $B_1F:FB=5:11$, а точка $T$ - середина ребра $B_1C_1$. Известно, что $AB=6\sqrt{2}$, $AD=10$, $AA_1=16$.
    а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через вершину $D_1$
    б) Найдите площадь сечения параллелепипеда $EFT$.
17. Решите неравенство $\displaystyle\frac{\log_{1-2x}((x+1)(1-4x+4x^2))}{\log_{x+1}(1-2x)}\le -1$ Решение
18. Окружность с центром O проходит через вершины B и C большей боковой стороны прямоугольной трапеции ABCD и касается боковой стороны AD в точке T.
    а) Докажите, что угол BOC вдвое больше угла BTC.
    б) Найдите расстояние от точки T до прямой BC, если основания трапеции AB и CD равны 4 и 9 соответственно. Решение
19. Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?
20. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $\left\{\begin{array}{l l} 2x^2+2y^2=5xy,\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 \end{array}\right.$ имеет ровно два решения.
21. Последовательность $a_1,a_2,...,a_n,...$ состоит из натуральных чисел, причем $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ при всех натуральных $n$.
    а) Может ли выполняться равенство $4a_5=7a_4$?
    б) Может ли выполняться равенство $5a_5=7a_4$?
    в) При каком наибольшем натуральном $n$ может выполняться равенство $6na_{n+1}=(n^2+24)a_n$?

смотрите еще ЕГЭ 2015. Репетиционный вариант (март, профильный уровень)

Ответы (обновляются, проверяются)

1. 95
2. 8
3. 6930
4. 7
5. 0,06
6. -94
7. 45^о
8. 7
9. 198
10. -5
11. 0,27
12. 240
13. 41,8
14. 53
15. а) $2\pi k$, $\pm\pi/3+2\pi k, k\in Z$ б) $-4\pi, -11\pi/3$
16. -
17. -1/2
18. б) 6
19. 822 000 р
20. $\pm 1/5$
21. а) да б) нет