Решение тренировочной работы МИОО 24 сентября 2015 г

Решение тренировочной работы по математике
МИОО 24 сентября 2015 г

13. Материал сайта www.itmathrepetitor.ru а) Из уравнения $(tg^2 x-1)\sqrt{13\cos x}=0$ следует, что $tg^2x-1=0$ или $13\cos x=0$ . При этом помним, что и тангенс, и квадратный корень должны существовать. Поэтому второе уравнение $13\cos x=0$ можно не рассматривать, так как $\cos x\ne 0$ из-за тангенса. Остается решить уравнение $tg^2x=1$ с ограничением $\cos x>0$ из-за квадратного корня. Получаем $tg x=\pm 1$ и $x=\pm\displaystyle\frac{\pi}{4}+n\pi, n\in Z$ . Из этого множества углов оставляем только те, которые принадлежат I или IV четверти. Поэтому $x=\pm\displaystyle\frac{\pi}{4}+2\pi n,n \in Z$ .

б) Материал сайта www.itmathrepetitor.ru В этом пункте необходимо из найденного множества корней выбрать только те, которые принадлежат отрезку $[-3\pi; -3\pi/2]$ . Так как корни заданы довольно простой формулой, то можно попробовать определить углы "на глаз". Но применим более общий способ, чтобы на экзамене быть во всеоружии. Разобьем формулу $x=\pm\displaystyle\frac{\pi}{4}+2\pi n,n \in Z$ на две более простых $x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+2\pi n,n \in Z$ и $x=-\displaystyle\frac{\pi}{4}+2\pi n,n \in Z$ и каждую поместим в двойное неравенство. То есть $-3\pi\le\displaystyle\frac{\pi}{4}+2\pi n\le -\frac{3\pi}{2}$ и $-3\pi\le -\displaystyle\frac{\pi}{4}+2\pi n\le -\frac{3\pi}{2}$ .
Решим первое неравенство (второе рассмотрите самостоятельно). Домножим все три части на $4$ и перенесем $\pi$ из средней части в крайние (слагаемое $\pi$ поменяет знак и появится в обеих частях, что кажется странным, ибо было одно слагаемое, а стало два, но ошибки здесь нет): $-12\pi\le \pi+8\pi n\le -6\pi$ $\Leftrightarrow -13\pi\le 8\pi n\le -7\pi$ , откуда $-\displaystyle\frac{13}{8}\le n\le -\frac{7}{8}$ . Так как $n\in Z$ , то есть $n$ - целое число, то $n=-1$ . Подставляем это значение в формулу $x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+2\pi n$ и получаем, что $x=-\displaystyle\frac{7\pi}{4}$ . Из второй формулы получим угол, равный $-\displaystyle\frac{9\pi}{4}$ .

15.1. Перед решением полезно вспомнить, что $\log_a{b}$ существует только при $a>0, a\ne 1, b>0$ , что $\log_ab^2=2\log_a|b|$ и что $\log_ab=\displaystyle\frac{1}{\log_ba}$ . Подробности можно посмотреть в справочнике.
Заметим, что $x^2-10x+25=x^2-2\cdot x\cdot 5+5^2=(x-5)^2$ и $-x^2+7x-10=-(x-5)(x-2)$ . Здесь мы использовали формулы сокращенного умножения (квадрат разности и формула разложения квадратного трехчлена). Поэтому неравенство принимает вид $\log_{x-2}|x-5|+\log_{5-x}(-(x-2)(x-5))\ge 3$ . Типичной ошибкой было бы забыть про модуль.
Далее из существования второго слагаемого следует, что $5-x>0$ , значит, подмодульное выражение положительно и $|x-5|=x-5$ . Материал сайта www.itmathrepetitor.ru
Рассмотрим второе слагаемое. Можно формально применить свойство $\log_c{(a\cdot b)}=\log_c{a}+\log_c{b}$ и получить, например, выражение $\log_{5-x}(-x+2)+\log_{5-x}(x-5)$ . И здесь будет допущена ошибка, связанная с тем, что в свойстве $\log_c{(a\cdot b)}=\log_c{a}+\log_c{b}$ неявно предполагается, что все три логарифма существуют, то есть $a>0, b>0, c>0, c\ne 1$ . В противном случае формулу применять нельзя. В нашем примере $5-x>0$ и $\log_{5-x}(x-5)$ не существует. Поэтому предварительно запишем логарифм в виде $\log_{5-x}(5-x)(x-2)$ . Теперь обе скобки положительны и уравнение принимает вид $\log_{x-2}(5-x)+\log_{5-x}(5-x)+\log_{5-x}(x-2)\ge 3$ $\Leftrightarrow \log_{x-2}(5-x)+1+\displaystyle\frac{1}{\log_{x-2}(5-x)}\ge 3$ $\Leftrightarrow\log_{x-2}(5-x)+\displaystyle\frac{1}{\log_{x-2}(5-x)}\ge 2$ .
Пусть $t=\log_{x-2}(5-x)$ , тогда $t+\displaystyle\frac{1}{t}\ge 2$ $\Leftrightarrow\displaystyle\frac{(t-1)^2}{t}\ge 0$ , откуда $t>0$ . Возвратимся к замене.
$\log_{x-2}(5-x)>0$ $\Rightarrow (x-3)(4-x)>0$ $\Leftrightarrow x\in (3;4)$ . При этом хотя бы устно необходимо проверить ограничения на $x$ из исходного неравенства.

15.2 $\displaystyle\frac{x}{x^2+3}\le\frac{1}{4x}$ $\Leftrightarrow\displaystyle\frac{4x^2-x^2-3}{4x(x^2+3)}\le 0$ . Заметим, что множитель $(x^2+3)$ можно удалить из знаменателя, так как он положителен и знак дроби зависит только от остальных множителей. Приходим к неравенству $\displaystyle\frac{(x-1)(x+1)}{x}\le 0$ .

Откуда методом интервалов находим ответ $x\in (-\infty;-1]\cup (0;1]$

17. www.itmathrepetitor.ru Прибыль за один год равна $px-(0,5x^2+x+7)=-0,5x^2+(p-1)x-7$ млн. руб. Данное выражение является квадратным трехчленом с отрицательным коэффициентом $a=-0,5$ , поэтому его наибольшее значение существует (ветви параболы направлены вниз) и достигается при $x=\displaystyle\frac{-b}{2a}=p-1$ (по формуле нахождения абсциссы вершины параболы). А наибольшее значение равно $\displaystyle\frac{(p-1)^2}{2}-7$ (определили банальной подстановкой $x$ в формулу прибыли). Тогда $\displaystyle\frac{(p-1)^2}{2}-7\ge\frac{75}{3}$ , откуда $(p-9)(p+7)\ge 0$ . Так как цена $p$ не может быть отрицательной, то $p\ge 9$ . Значит, наименьшее значение равно $p=9$ .