МГУ ДВИ по математике 2018

Вступительное испытание
по математике в МГУ 2018 года

МГУ

Июль 2018 г

  1. Какое из чисел \displaystyle\frac{49}{18} и \displaystyle\frac{79}{24} ближе к 3?
  2. Найдите все значения параметра a, при которых разность между корнями уравнения x^2+3ax+a^4=0 максимальна.
  3. Решите уравнение \sin 4x\cdot\cos 10x=\sin x\cdot\cos 7x
  4. Решите неравенство (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{\log_{\sqrt{3}-\sqrt{2}}x}\ge(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{\log_{x}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}
  5. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Пусть M - середина отрезка AD, а N - произвольная точка отрезка BC. Пусть K - пересечение отрезков CM и DN, а L - пересечение отрезков MN и AC. Найдите все возможные значения площади треугольника DMK, если известно, что AD:BC=3:2, а площадь треугольника ABL равна 4.
  6. Найдите все значения параметра a, при которых система \left\{\begin{array}{l l} ax^2+4ax-8y+6a+28\le0,\\ ay^2-6ay-8x+11a-12\le0\end{array}\right. имеет ровно одно решение.
  7. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 с боковыми ребрами AA1, BB1, CC1, DD1. На ребрах AB, BC, CD, DA нижнего основания отмечены соответственно точки K, L, M, N таким образом, что AK:KB = 4:5, BL:LC = 3:1, CM:MD = 7:2, DN:NA = 3:1. Пусть P, Q, R - центры сфер, описанных около тетраэдров AKNA1, BLKB1, CMLC1 соответственно. Найдите PQ, если QR = 1 и AB:BC = 3:2.
  8. Найдите все пары чисел x,y из промежутка (0,\pi/2), при которых достигается минимум выражения (\frac{\sqrt{3}\sin y}{\sqrt{2}\sin(x+y)}+1)(\frac{\sqrt{2}\sin x}{3\sin y}+1)^2(\frac{\sin(x+y)}{7\sqrt{3}\sin x}+1)^4

Ответы

смотрите еще Вступительные экзамены и МГУ. Дополнительное вступительное испытание 2013

 

Добавить комментарий