Вступительное испытание
по математике в МГУ 2016 года

Вариант ф21 (июль 2016 г)

1. Сколько различных решений имеет уравнение $7x^2+6x+7=2\sqrt{10}\cdot(x^2-1)$
2. Решите систему уравнений $\left\{\begin{array}{l l} x-y=5,\\ x^3-y^3=335 \end{array}\right.$
3. Дана квадратная таблица 10x10 (10 строк, 10 столбцов). В каждой клетке таблицы стоит число. Известно, что при переходе из любой клетки в соседнюю с ней клетку, расположенную ниже, число увеличивается на 4, а при переходе из любой клетки в соседнюю с ней клетку справа число уменьшается на 1. Сумма всех чисел в таблице равна 250. Какое число стоит в самой левой клетке нижнего ряда?
4. Решите неравенство $\sqrt{7+2^{\log_x5}}\ge1+4^{\log_x\sqrt{5}}$.
5. Решите уравнение $tg2x=9\sin^2x+4\sin x\cos x-3\cos^2 x$.
6. В четырехугольнике ABCD сторона AD в $\sqrt{19/4}$ раз длиннее стороны BC и AB=CD=2. Продолжения сторон AB (за точку B) и DC (за точку C) пересекаются в точке K, при этом BK = 1, CK = 2. Найдите площадь четырехугольника ABCD.
7. Найдите все целочисленные решения уравнения $\cos\displaystyle\frac{(10x-48)\pi}{3x+5}=1$.
8. В правильной треугольной пирамиде радиус вписанного шара в 3 раза короче высоты и равен $7+\sqrt{21}$. Найдите радиус шара, который касается всех ребер пирамиды.

смотрите еще Вступительные экзамены и МГУ. Дополнительное вступительное испытание 2013