Теория чисел

Задачи 61-80

вернуться к содержанию

61. Число $m$ при делении на 4 дает в остатке 1, а при делении на 5 дает в остатке 2. Чему равен остаток от деления числа $m$ на 20?
62. Докажите, что любая натуральная степень числа 15 при делении на 7 дает остаток 1.
63. Докажите, что число $n^4+64$ составное при всех натуральных $n$.
64. Докажите, что если одно из чисел $2^n-1, 2^n+1$ является простым, то второе из них является составным, где $n$ - натуральное число, $n>2$.
65. Найдите все целые числа $n$, при которых модуль трехчлена $n^2-7n+10$ является простым числом.
66. Найдите все простые числа $p$ такие, что $p^2+13$ - тоже простое.
67. Числа $p$ и $2p+1$ являются простыми и $p>3$. Докажите, что число $4p+1$ составное.
68. Докажите, что число $222^{381}+555^{177}$ является составным.
69. Найдется ли такое натуральное $n$, при котором число $2^n+n^2$ оканчивается на 5?
70. Какой цифрой оканчивается число $9^{906}-1$?
71. Петя и Вася живут в одном доме. На каждом из этажей во всех подъездах дома расположено по 4 квартиры. Петя живет на 5 этаже в квартире 83, а Вася  - на 3 этаже в квартире 169. Сколько этажей в их доме?
72. В 13-томном справочнике сплошная нумерация страниц. Сколько страниц в одном томе, если в каждом из томов их поровну, а сумма номеров первых и последних страниц равна 39390.
73. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4 и 5 знаки математических действий так, чтобы результатом этих действий было число 20.
74. Найдите трехзначное число, равно кубу суммы его цифр.
75. Шестая степень натурального числа $n$ записывается в десятичной системе семью цифрами 2, 4, 5, 8, 8, 9, 9, расположенными в некотором порядке. Найдите $n$.
76. Известно, что $a+\frac{1}{a}$ - натуральное число. Докажите, что $a^4+\frac{1}{a^4}$ - также натуральное число.
77. Если все цифры некоторого натурального числа $n$ переписать в обратном порядке, то новое число будет в 4 раза больше первоначального. Найдите хотя бы одно такое число $n$.
78. Некоторое натуральное число $n$ оканчивается на 2. Если двойку перенести с последнего места на первое, то число удвоится. Найдите $n$
79. Найдите хотя бы одно натуральное $n$, которое делится на 11 без остатка, а при делении на 2, 3, 4, ..., 10 дает в остатке 1.
80. Найдите наименьшее натуральное число, в записи которого задействованы все цифры от 0 до 9, и такого, что оно делится без остатка на 36.