Урок 11. Системы, возникающие из текстовых задач

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. $\left\{\begin{array}{l l} 3x-5y=1,\\7x+2y=-25\end{array}\right.$
2. $\left\{\begin{array}{l l} 2x-y=3,\\2y-4x=5\end{array}\right.$
3. $\left\{\begin{array}{l l} 4x+6y=1,\\6x+9y=1,5\end{array}\right.$
4. Для произвольного $a$ решите систему уравнений $\left\{\begin{array}{l l} 2(a-1)x-2y=a-1,\\4x+(1-a)y=2\end{array}\right.$
5. $\left\{\begin{array}{l l} x+y+z=4,\\-2x-y+3z=1,\\2x+3y-z=1\end{array}\right.$
6. Известно, что $x>0$, $y>0$ и $x^2+xy-6y^2=0$. Найдите $\frac{x+y}{x-y}$.
7. Найдите все пары $(x; y)$, которые являются решениями уравнения $x^2+xy+y^2=0$.
8. Известно, что $t>0$, $s>0$ и $\left\{\begin{array}{l l} 3vt+wt=s,\\2vt=s\end{array}\right.$ Найдите $\frac{v}{w}$.
9. Известно, что $x,y,z>0$ и $\left\{\begin{array}{l l} \frac{z}{x}+2=\frac{z}{y},\\12x=12y+z\end{array}\right.$ Найдите $\frac{x}{z}$ и $\frac{y}{z}$.
10. Известно, что $x,y,S>0$, $x>y$ и $\left\{\begin{array}{l l} \frac{S}{x}+\frac{S}{y}=6,\\\frac{S}{x+y}=\frac{4}{3}\end{array}\right.$ Найдите $\frac{S}{x-y}$.
11. Известно, что $v,w,S>0$ и $\left\{\begin{array}{l l} 5v+5(w-v)=S,\\\frac{S}{w-v}+\frac{S}{w+v}=\frac{S}{v}\end{array}\right.$ Верно ли, что $\frac{S}{v}\leq 12$?
12. $\left\{\begin{array}{l l} \frac{p}{x+y+z}=\frac{1}{4},\\\frac{2p}{x+2y-t}=\frac{1}{3}\\ \frac{p}{2x-y-z+t}=1\end{array}\right.$ Найдите $\frac{7x-4z+t}{p}$.
13. $\left\{\begin{array}{l l} \frac{a}{x+2y+3z}=2,\\\frac{a}{-x+3y-z}=3\end{array}\right.$ Найдите $\frac{a}{18y-x+5z}$.
14. $\left\{\begin{array}{l l} \frac{S}{x-y+2z+3w+t}=1,\\\frac{S}{2x+y+z-w-2t}=\frac{1}{2},\\\frac{S}{-x+2y-z+2w+t}=\frac{1}{3}\end{array}\right.$  Найдите $\frac{S}{6x-3y+3z-11w-8t}$.
15. Известно, что $x,y\ne 0, z>0$ и $\left\{\begin{array}{l l} \displaystyle\frac{\frac{3}{8}x+\frac{2}{5}z}{\frac{5}{8}x+\frac{1}{3}y}=\frac{3}{5},\\\displaystyle\frac{\frac{3}{8}x+\frac{2}{5}z}{\frac{2}{3}x+\frac{3}{5}z}=\frac{3}{2}\end{array}\right.$ Найдите $\frac{xz}{y^2}$.
16. Найдите $x$ и $y$, если $x,y>0$ и $\left\{\begin{array}{l l} \displaystyle\frac{x+y}{\frac{x}{2}+\frac{y}{3}}=\frac{x}{40},\\50\displaystyle\frac{x+y}{\frac{x}{2}+\frac{y}{3}}=y\end{array}\right.$

Ответы к домашнему заданию урока 11 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. (-3; 12)
2. нет решений
3. (t; (1-4t)/16), t - любое действительное число
4. если a = -1, то x=(1-t)/2, y=t, где t - любое действительное число; если а = 3, то x, y - любые; в остальных случаях x=1/2, y=0.
5. (3; -1; 2)
6. 3
7. (0; 0)
8. -1
9. x/z=1/4, y/z=1/6
10. 4
11. $5+\sqrt{5}>12$
12. 11
13. 6/17
14. -1/6
15. -1/5
16. x=1080/11, y=1350/11