Урок 45[2]. Стереометрия. Тетраэдры

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. В тетраэдре SABC плоские углы при вершине S острые и угол BSC равен $\alpha$, угол ASC равен $\beta$ и угол ASB равен $\gamma$. Известно, что SA = a и SB = b. Найдите площадь проекции треугольника ASB на плоскость ASC.
2. В тетраэдре SABC имеем SA = SC, SB = 2AC и AB = BC = 3AC/2. Через ребро AC и середину D ребра SB проведена плоскость. Площадь полной поверхности пирамиды SADC больше площади полной поверхности ABCD на величину, равную площади треугольника ABC. Найдите угол между плоскостями ASC и ABC.
3. В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник ABC. Известно, что высота пирамиды проходит через середину D катета BC, причем SD = h, AC = b и BC = a. Через середины сторон AC и BC проведено сечение плоскостью, параллельной SC. Найдите площадь этого сечения и угол между плоскостью сечения и плоскостью АВС.
4. Все ребра тетраэдра ABCD имеют равную длину. На ребрах AB, AC и AD выбраны соответственно точки K, L и M так, что длина отрезка KB равна 12 и MD равно 8. Радиус шара, описанного около ABCD, равен $6\sqrt{6}$, а объем пирамиды AKLM равен $192\sqrt{2}$. Найдите сумму радиусов описанного и вписанного шаров для пирамиды AKLM.
5. Дан тетраэдр ABCD. Точки F и N лежат на ребрах AD и DB соответственно, причем DN : NB = 1 : 2. Через точки F и N и точку пересечения медиан треугольника ABC проведена плоскость, пересекающая ребро CB в точке H. Через точку Н проведена плоскость, параллельная плоскости ADB и пересекающая ребра CA и CD в точках L и K соответственно. Известно, что $\frac{CH}{HB}=(\frac{AF}{FD})^2$ и что радиус шара, вписанного в пирамиду CHLK равен R. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади полной поверхности пирамиды ABCD, если высота, опущенная из D на плоскость ABC, равна h.
6. В тетраэдре SABC длины всех ребер, пересекающихся с ребром BC, равны между собой и в два раза больше длины этого ребра, равной b. Высота пирамиды SABC, опущенной из вершины S, лежит внутри пирамиды и квадрат ее длины в 4,5 раза больше BC². Точка М делит пополам высоту грани SBC, проведенную из точки S к ребру BC. Через точки А и М проведена секущая плоскость, образующая с плоскостью основания пирамиды угол 30^о. Какова площадь полной поверхности части пирамиды, отсекаемой этой плоскостью и содержащей вершину S, и сколько таких плоскостей можно построить?
7. В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник ABC такой, что угол BAC равен $\pi/4$, AC = AB = $1+\sqrt{2}$. Основание Н высоты SH пирамиды расположено так, что CH перпендикулярно AB и  BH параллельно AC. Найдите радиус описанного около SABC шара, если SH = $\sqrt{5+2\sqrt{2}}$.
8. На боковом ребре SA правильной треугольной пирамиды SABC с вершиной S взята точка D, через которую проведено сечение пирамиды, пересекающее апофемы граней SAC и SAB в точках M и N. Известно, что DM и DN образуют углы $\beta$ с плоскостью ABC, а угол DMS и угол DNS равны $\alpha < \pi/2$. Найдите угол MDN.
9. Отрезок DE, лежащий в двугранном угле DA с точками B и C на его гранях, параллелен плоскости ABC, причем площадь треугольника ABC равна S. В тетраэдр BCDE вписан шар, k - отношение расстояния от центра шара до прямой DE к расстоянию от DE до плоскости ABC. Пусть B₁ - проекция точки B на плоскость CDE и известно, что $\frac{tg\angle B_1DE}{tg\angle BDE}=p$. Через середину отрезка AD проведена плоскость P, параллельная плоскости ABC. Найдите площадь сечения многогранника ABCDE, составленного из тетраэдров ABCD и BCDE плоскостью Р, если площадь полной поверхности тетраэдра BCDE равна $\sigma$.
10. Дана пирамида SABC, в которой площадь треугольника ABS равна $\frac{3\sqrt{7}}{4}$, угол BSC равен $arctg\frac{\sqrt{231}}{37}$. Известно кроме того, что AS = SB, SC$\cdot$ AC = 20 и перпендикуляры к граням, восстановленные из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке. Найдите объем пирамиды SABC.
11. В тетраэдре длины двух непересекающихся ребер равны 12 и 4, а остальные ребра имеют длину 7. В пирамиду вписана сфера. Найдите расстояние от центра сферы до ребра длины 12.
12. В треугольной пирамиде каждое боковое ребро равно 1, а боковые грани равновелики. Найдите объем пирамиды, если известно, что один из двугранных углов при основании прямой.
13. Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, длина стороны которого равна $4\sqrt{2}$. Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2. Найдите величину угла и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC, а другая проходит через точку C и середину ребра AB.
14. Объем пирамиды ABCD равен 5. Через середины ребер AD и BC проведена плоскость, пересекающая ребро CD в точке M. При этом DM : MC = 2 : 3. Вычислите площадь сечения пирамиды указанной плоскостью, если расстояние от нее до вершины А равно 1.
15. В пирамиде SABC прямая, пересекающая ребра AC и BS и перпендикулярная им, проходит через середину ребра BS. Грань ASB равновелика грани BSC, а площадь грани ASC в два раза больше площади грани BSC. Внутри пирамиды есть точка M, сумма расстояний от которой до вершин B и S равна сумме расстояний до всех граней пирамиды. Найдите расстояние от точки М до вершины В, если АС = $\sqrt{6}$, а BS  = 1.
16. В пирамиде SABC суммы длин ребер, выходящих из каждой вершины, равны одному и тому же числу. Величина тупого угла между ребрами SB и AC равна $arccos(-\frac{1}{3})$, радиус вписанной в пирамиду сферы равен $\sqrt{3/13}$ и SA²+SC²=12. Найдите объем пирамиды SABC, если известно, что он не превосходит 5/3.
17. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a. Площадь ее сечения, имеющего форму квадрата, равна m². Найдите отношение боковой поверхности пирамиды к площади основания.
18. Треугольная пирамида ABCD, все ребра которой равны a, вложена в прямой круговой конус так, что вершина А лежит на окружности основания конуса. ребро AD лежит в плоскости основания конуса. ребро ВС параллельно основанию конуса, а вершины В и С лежат на боковой поверхности конуса. Угол между высотой конуса и его образующей равен $\alpha <\pi/6$. Определите высоту конуса.
19. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S и объемом V проведена плоскость, которая параллельна медиане основания BN и пересекает боковое ребро SA в точке K, а боковое ребро SB в точке L, причем SK = SA/2 и SL = SB/2. Найдите объем части пирамиды, лежащей ниже этой плоскости.
20. В основании пирамиды  SABC лежит правильный треугольник ABC со стороной $2\sqrt{3}$, и SA = SB = SC = $\sqrt{7}$. В трехгранный угол при вершине С вписана сфера S₁. Сфера S₂, радиус которой втрое больше, чем у сферы S₁, касается сферы S₁, плоскостей SAC и ABC. При этом отрезок прямой SB, заключенный внутри сферы S₂,  имеет длину $6/\sqrt{7}$. Найдите радиус сферы S₂.

Ответы к домашнему заданию урока 45 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. $\frac{ab(\cos\alpha-\cos\beta\cos\gamma )}{2\sin\beta}$
2. arccos(3/4)
3. $S=\frac{1}{8}\sqrt{4h^2(a^2+b^2)+a^2b^2}, \arccos\frac{ab}{16S}$
4. $6\sqrt{2}+\frac{48\sqrt{2}}{11\sqrt{3}+\sqrt{43}}$
5. $\frac{17-\sqrt{17}}{8}\cdot\frac{R}{h}$
6. $\frac{(3+2\sqrt{57}+\sqrt{3})b^2}{4\sqrt{2}}$, такая плоскость единственна
7. $\sqrt{2}+1/2$
8. $2\arcsin (\frac{\sin\alpha+\sqrt{3(\cos^2\alpha-\sin^2\beta)}}{2})$
9. $\frac{1}{4}(S+\sigma k\sqrt{2-2p})$
10. $\sqrt{87}/2$
11. $\frac{3\sqrt{13}}{\sqrt{13}+\sqrt{5}}$
12. $2\sqrt{3}/27$
13. $\pi/4, 2/\sqrt{3}$
14. 3
15. $\sqrt{10}/6$
16. $2\sqrt{6}/3$
17. $\frac{\sqrt{9m^2-3a^2+6am}}{a-m}$
18. $\frac{a\cdot ctg(2\alpha)}{1-\sqrt{2}tg\alpha}$
19. 23V/24
20. $1/\sqrt{3}; 19/(25\sqrt{3})$