Математика. Варианты вступительных экзаменов в МГУ. Химический факультет

Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ на химический факультет. 

Химический факультет МГУ, 2000 г.

  1. Решите уравнение |x|=4-x.
  2. Решите уравнение \cos 5x+\sin x\sin 4x=0.
  3. Две бригады трактористов пахали два участка земли (первая бригада - первый участок, вторая - второй), причем объем работ на втором участке вчетверо больше, чем на первом, а в первой бригаде на 6 тракторов меньше, чем во второй. Производительность труда всех трактористов одинакова. Бригады одновременно начали работу, и когда первая бригада закончила работу, вторая еще работала. Какое наименьшее число трактористов могло быть в первой бригаде?
  4. В угол вписано несколько окружностей, радиусы которых возрастают. Каждая следующая окружность касается предыдущей окружности. Найдите сумму длин второй и четвертой окружностей, если длина третьей равна 18\pi, а площадь круга, ограниченного первой окружностью, равна \pi.
  5. Треугольники DAB, DAC, DBC, представляющие собой боковые грани треугольной пирамиды, имеют одинаковые площади. Точка А1 лежит на ребре DA, причем DA1 = 3DA/7,точка B1 лежит на ребре DB, причем DB1 = 7DB/9, точка C1 лежит на ребре DC. Известно, что объем пирамиды DA1B1C1 составляет 1/3 от объема пирамиды DABC. Какую часть площади боковой поверхности пирамиды DABC составляет площадь боковой поверхности пирамиды DA1B1C1?
  6. Решите уравнение (26+15\sqrt{3})^x-3(7+4\sqrt{3})^x-2(2+\sqrt{3})^x+(2-\sqrt{3})^x=3.

Химический факультет МГУ, 2001 г.

  1. Решите неравенство \frac{1}{|x-1|}>\frac{1}{|x+1|}.
  2. В равнобедренном треугольнике с основанием AC проведена биссектриса угла С, которая пересекает боковую сторону AB в точке D. Точка Е лежит на основании AC так, что DE перпендикулярно DC. Найдите длину AD, если CE равно 2.
  3. Решите уравнение tgx+tg2x+tgx\cdot tg2x\cdot tg3x = tg3x+tg4x.
  4. Решите уравнение \sqrt{4x-x^2}+\sqrt{4x-x^2-3}=3+\sqrt{2x-x^2}.
  5. Решите уравнение |x-1|+|x+1|+|x-2|+|x+2|+\ldots+|x-100|+|x+100|=200x.
  6. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система       \left\{\begin{array}{l l} x^3-(a+3)x^2+(3a+2)x-2x\geq 0,\\x^3-(a+3)x^2+3ax\leq 0\end{array}\right. имеет единственное решение.
  7. Функция f(x) для всех x удовлетворяет уравнению f(x+1)=f(x)+2x+1. Найдите f(2001), если f(0)=0.

Ответы

2000 г.

  1. 2
  2. \pi/2+\pi n, \pi/8+\pi k/4, k,n \in Z
  3. 4
  4. 60\pi
  5. 97/189
  6. -1; 1

2001 г.

  1. 0<x<1, x>1
  2. 1
  3. \pi n, n \in Z
  4. 2
  5. x\geq 100
  6. x\geq 3
  7. 4004001