Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ на химический факультет. 

Химический факультет МГУ, 2000 г.

1. Решите уравнение $|x|=4-x$.
2. Решите уравнение $\cos 5x+\sin x\sin 4x=0$.
3. Две бригады трактористов пахали два участка земли (первая бригада - первый участок, вторая - второй), причем объем работ на втором участке вчетверо больше, чем на первом, а в первой бригаде на 6 тракторов меньше, чем во второй. Производительность труда всех трактористов одинакова. Бригады одновременно начали работу, и когда первая бригада закончила работу, вторая еще работала. Какое наименьшее число трактористов могло быть в первой бригаде?
4. В угол вписано несколько окружностей, радиусы которых возрастают. Каждая следующая окружность касается предыдущей окружности. Найдите сумму длин второй и четвертой окружностей, если длина третьей равна $18\pi$, а площадь круга, ограниченного первой окружностью, равна $\pi$.
5. Треугольники DAB, DAC, DBC, представляющие собой боковые грани треугольной пирамиды, имеют одинаковые площади. Точка А₁ лежит на ребре DA, причем DA₁ = 3DA/7,точка B1 лежит на ребре DB, причем DB₁ = 7DB/9, точка C₁ лежит на ребре DC. Известно, что объем пирамиды DA₁B₁C₁ составляет 1/3 от объема пирамиды DABC. Какую часть площади боковой поверхности пирамиды DABC составляет площадь боковой поверхности пирамиды DA₁B₁C₁?
6. Решите уравнение $(26+15\sqrt{3})^x-3(7+4\sqrt{3})^x-2(2+\sqrt{3})^x+(2-\sqrt{3})^x=3$.

Химический факультет МГУ, 2001 г.

1. Решите неравенство $\frac{1}{|x-1|}>\frac{1}{|x+1|}$.
2. В равнобедренном треугольнике с основанием AC проведена биссектриса угла С, которая пересекает боковую сторону AB в точке D. Точка Е лежит на основании AC так, что DE перпендикулярно DC. Найдите длину AD, если CE равно 2.
3. Решите уравнение $tgx+tg2x+tgx\cdot tg2x\cdot tg3x = tg3x+tg4x$.
4. Решите уравнение $\sqrt{4x-x^2}+\sqrt{4x-x^2-3}=3+\sqrt{2x-x^2}$.
5. Решите уравнение $|x-1|+|x+1|+|x-2|+|x+2|+\ldots+|x-100|+|x+100|=200x$.
6. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система       $\left\{\begin{array}{l l} x^3-(a+3)x^2+(3a+2)x-2x\geq 0,\\x^3-(a+3)x^2+3ax\leq 0\end{array}\right.$ имеет единственное решение.
7. Функция $f(x)$ для всех $x$ удовлетворяет уравнению $f(x+1)=f(x)+2x+1$. Найдите $f(2001)$, если $f(0)=0$.

Ответы

2000 г.

1. 2
2. $\pi/2+\pi n, \pi/8+\pi k/4, k,n \in Z$
3. 4
4. $60\pi$
5. 97/189
6. -1; 1

2001 г.

1. 0<x<1, x>1
2. 1
3. $\pi n, n \in Z$
4. 2
5. $x\geq 100$
6. $x\geq 3$
7. 4004001