Муниципальный этап, 2013-2014 гг.

8 класс

1. Докажите, что если $x$ и $y$ положительные числа, то хотя бы одно из чисел $x$, $y$ и $\frac{1}{x+y}$ больше числа 0,7.
2.  Петя рисует прямоугольные треугольники так, чтобы их площади выражались целыми числами, а длины катетов были не меньше 90, но и не больше 100. Он нарисовал 952 треугольника. Докажите, что среди Петиных треугольников есть равновеликие (т. е. с равными площадями).
3. окажите, что если натуральные числа $m$ и $n$ взаимно просты (т.е. не имеют общего делителя > 1), то число $m\cdot n$ не делится на число$m+n$.
4. Диагонали АС и ВD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О и взаимно перпендикулярны. На луче DА взята точка E такая, что AE=AB, и точка А лежит между точками D и E. Пусть M середина отрезка BE. Докажите, что угол ВАМ равен углу BOM.
5. На смотре войска Острова Лжецов и Рыцарей (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду) вождь построил всех воинов в шеренгу. Каждый из воинов, стоящих в шеренге сказал: «Мои соседи по шеренге – лжецы» (воины, стоящие в концах шеренги, сказали: «Мой сосед по шеренге - лжец»). Какое наибольшее число лжецов могло оказаться в шеренге, если на смотр вышли 1000 воинов.

9 класс

1. Докажите, что если $?$ и $b$ положительные числа, то хотя бы одно из чисел $a$, $b$ и $\frac{1}{a+b}$ больше числа $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
2. Вася рисует прямоугольные треугольники, площади которых являются целыми числами, а длина гипотенузы не превосходит 50. Он нарисовал 626 треугольников. Докажите, что среди Васиных треугольников есть равновеликие (т. е. с равными площадями).
3. В треугольнике ABC провели серединный перпендикуляр к стороне AB, Он пересекается со стороной BC в точке P. Найдите угол ВАС, если АС=1, BP=2 и угол РАС равен 60 градусам.
4. Докажите, что если $x_0$ – корень уравнения $x^4+ax^3+a^3=0$, то $x_0^2 \geq 4a$.
5. Натуральные числа m и n взаимно просты (т.е. не имеют общего делителя > 1). Докажите, что если число $m^2+n^2$ делится на число $m+n$, то $m=n=1$.

10 класс

1. Докажите, что если x и у положительные числа, то хотя бы одно из чисел x, у и $\frac{1}{x^2+y^2}$ больше числа 0,75.
2. Числа а, b, c отличны от нуля, причём а и с числа одного знака. Докажите, что хотя бы одно из уравнений $ax^2+bx+c=0$ и $\frac{x^2}{a} + \frac{x}{b} + \frac{1}{c}=0$ не имеет корней.
3. На плоскости каким-то образом расположены непересекающиеся квадратики: 99 квадратиков со стороной равной 1; 77 квадратиков со стороной равной 2; 55 квадратиков со стороной равной 3. Докажите, что, как бы не размещать на плоскости квадрат со стороной равной 30, он не накроет все квадратики целиком.
4. Стороны выпуклого пятиугольника последовательно равны 4, 6, 8, 7 и 9. Докажите, что в этот пятиугольник нельзя вписать окружность.
5. Наибольший общий делитель натуральных чисел m и n равен 1. Известно, что число $m^2+n^3$ делится на число $m+n^2$. Докажите, что $m=n=1$.

11 класс

1. f(x) – квадратный трёхчлен. Известно, что уравнение f(2x) = f(x), кроме корня x₁=0, имеет ещё корень x₂=1. Найдите абсциссу вершины параболы у= f(x).
2. ABC – прямоугольный треугольник с катетами CA=4, СВ=3. Точка P находится на гипотенузе AB, причём угол BCP равен 60 градусам. Найдите длину отрезка CP.
3. Докажите, что хотя бы одно из чисел $\sin x$ и $\sin 2x$ меньше 0,9.
4. На ЕГЭ по математике 333 ученика допустили в общей сложности 1000 ошибок. Докажите, что при этом учеников, сделавших более чем 5 ошибок, оказалось не больше, чем учеников, сделавших менее чем по 4 ошибки.
5. Могут ли среди корней кубического уравнения вида $x^3-2013x+q=0$ оказаться два различных целых числа?