Частота события. Статистическое определение вероятности

содержание учебника

Классическое определение вероятности предполагает, что все эле­ментарные исходы равновозможны. О равновозможности исходов опы­та заключают в силу соображений симметрии (как в случае монеты или игрального кубика). Задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются редко. Во многих случаях трудно указать основания, позволяющие считать, что все элементарные исходы равновозможны. В связи с этим появилась необходимость введения еще одного определения вероятности, называемого статистическим. Чтобы дать это определение, предварительно вводят понятие относительной частоты события.

Относительной частотой события, или частотой, называется от­ношение числа опытов, в которых появилось это событие, к числу всех произведенных опытов. Обозначим частоту события $A$ через $W(A)$, тогда по определению

$W(A)=\displaystyle\frac{m}{n}$     (1.4.1)
где $m$ - число опытов, в которых появилось событие $A$ и $n$ - число всех произведенных опытов.

Частота события обладает следующими свойствами.

1. Частота случайного события есть число, заключенное между ну­лем и единицей:
   $0< W(A)<1$.    (1.4.2)
2. Частота достоверного события $U$ равна единице:
   $W(U)=1$    (1.4.3)
3. Частота невозможного события $V$ равна нулю:
   $W(V)=0$    (1.4.4)
4. Частота суммы двух несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме частот этих событий:
   $W(A+B)=W(A)+W(B)$    (1.4.5)

Наблюдения позволили установить, что относительная частота об­ладает свойствами статистической устойчивости: в различных сериях многочленных испытаний (в каждом из которых может появиться или не появиться это событие) она принимает значения, достаточно близкие к некоторой постоянной. Эту постоянную, являющуюся объективной числовой характеристикой явления, считают вероятностью данного со­бытия.

Вероятностью события называется число, около которого группи­руются значения,частоты данного события в различных сериях большо­го числа испытаний.

Это определение вероятности называется статистическим.

В случае статистического определения вероятность обладает сле­дующими свойствами:
1) вероятность достоверного события равна еди­нице;
2) вероятность невозможного события равна нулю;
3) вероятность случайного события заключена между нулем и единицей;
4) вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих со­бытий.

Пример 1. Из 500 взятых наудачу деталей оказалось 8 бракован­ных. Найти частоту бракованных деталей.

Решение. Так как в данном случае $m$ = 8, $n$ = 500, то в соответствии с формулой (1.4.1) находим

$W=\displaystyle\frac{8}{500}=0,016$

Пример 2. Игральный кубик подброшен 60 раз, при этом шестерка появилась 10 раз. Какова частота появления шестерки?

Решение. Из условия задачи следует, что $n$ = 60, $m$ = 10, поэтому

$W=\displaystyle\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$

Пример 3. Среди 1000 новорожденных оказалось 515 мальчиков.Чему равна частота рождения мальчиков?
Решение. Поскольку в данном случае $n=1000$, $m=515$, то $W=\displaystyle\frac{515}{1000}=0,515$.

Пример 4. В результате 20 выстрелов по мишени получено 15 попаданий. Какова частота попаданий?

Решение. Так как $n$ = 20, $m$ = 15, то

$W=\displaystyle\frac{15}{20}=\frac{3}{4}=0,75$

Пример 5. При стрельбе по мишени частота попаданий $W$ = 0,75. Найти число попаданий при 40 выстрелах.

Решение. Из формулы (1.4.1) следует, что $m=W\cdot n$. Так как $W$ = 0,75, $n$ = 40, то $m=0,75\cdot40=30$ . Таким образом, было получено 30 попаданий.

Пример 6. www.itmathrepetitor.ru Частота нормального всхода семян W = 0,97. Из высе­янных семян взошло 970. Сколько семян было высеяно?

Решение. Из формулы (1.4.1) следует, что $n=\displaystyle\frac{m}{W}$. Поскольку $m = 970$, $W=0,97$, то $n=970/0,97=1000$. Итак, было высеяно 1000 семян.

Пример 7. На отрезке натурального ряда от 1 до 20 найти частоту простых чисел.

Решение. На указанном отрезке натурального ряда чисел находятся следующие простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19; всего их 8. Так как $n$ = 20, $m$ = 8, то искомая частота

$W=\displaystyle\frac{8}{20}=0,4$.

Пример 8. Проведены три серии многократных подбрасываний симметричной монеты, подсчитаны числа появлений герба: 1) $n_1$ = 4040, $m_1$ =2048, 2) $n_2$ = 12000, $m_2$ = 6019; 3) $n_3$ = 24000, $m_3$ = 12012. Найти частоту появления герба в каждой серии испытаний.

Решение. В соответствии с формулой (1.4.1) находим:

$W_1=\displaystyle\frac{m_1}{n_1}=\frac{2048}{4040}=0,5069$

$W_2=\displaystyle\frac{m_2}{n_2}=\frac{6019}{1200}\approx0,5016$

$W_3=\displaystyle\frac{m_3}{n_3}=\frac{12012}{24000}\approx0,5005$                                                                 .

Замечание. Эти примеры свидетельствуют о том, что при многократ­ных испытаниях частота события незначительно отличается от его вероятности. Вероятность появления герба при подбрасывании монеты р = 1/2 = 0,5 , так как в этом случае n = 2, m = 1.

Пример 9. Среди 300 деталей, изготовленных на автоматическом станке, оказалось 15, не отвечающих стандарту. Найти частоту появле­ния нестандартных деталей.

Решение. В данном случае n = 300, m = 15, поэтому

$W=\displaystyle\frac{15}{300}=0,05$

Пример 10. Контролер, проверяя качество 400 изделий установил, что 20 из них относятся ко второму сорту, а остальные - к первому. Най­ти частоту изделий первого сорта, частоту изделий второго сорта.

Решение. Прежде всего, найдем число изделий первого сорта: 400 - 20 = 380. Поскольку n = 400, $m_1$ = 380, то частота изделий перво­го сорта

$W_1=\displaystyle\frac{380}{400}=0,95$

Аналогично находим частоту изделий второго сорта:

$W_2=\displaystyle\frac{20}{400}=0,05$

Задачи

1. Отдел технического контроля обнаружил 10 нестандартных изде­лий в партии из 1000 изделий. Найдите частоту изготовления бракован­ных изделий.
2. Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в лабо­раторных условиях 100 штук. 95 семян дали нормальный всход. Какова частота нормального всхода семян?
3. Найдите частоту появления простых чисел в следующих отрезках натурального ряда: а) от 21 до 40; б) от 41 до 50; в) от 51 до 70.
4. Найдите частоту появления цифры при 100 подбрасываниях сим­метричной монеты. (Опыт проводите самостоятельно).
5. Найдите частоту появления шестерки при 90 подбрасываниях иг­рального кубика.
6. Путем опроса всех студентов Вашего курса определите частоту дней рождения, попадающих на каждый месяц года.
7. Найдите частоту пятибуквенных слов в любом газетном тексте.

Ответы

1. 0,01. 2. 0,95; 0,05. 3. а) 0,2; б) 0,3; в) 0,2.

Вопросы

1. Что такое частота события?
2. Чему равна частота достоверного события?
3. Чему равна частота невозможного события?
4. В каких пределах заключена частота случайного события?
5. Чему равна частота суммы двух несовместных событий?
6. Какое определение вероятности называют статистическим?
7. Какими свойствами обладает статистическая вероятность?

содержание учебника