Теория групп, колец, полей

перейти к содержанию справочника

Группа

Непустое множество G, на котором задана бинарная алгебраическая операция \(\circ\), называется группой, если:

1. эта операция ассоциативна: \((a\circ{b})\circ{c}=a(b\circ{c})\) для любых \(a,b,c\in{G}\)
2. в G существует нейтральный относительно заданной операции элемент \(n\): \(n\circ{a}=a\circ{n}=a\) для любых \(a\in{G}\)
3. для любого элемента \(a\) из G в этом множестве существует симметричный элемент \(b\), то есть \(a\circ{b}=b\circ{a}=n\)

Абелева группа

Группа G называется абелевой, если операция коммутативна: \(a\circ{b}=b\circ{a}\) для любых \(a,b\in{G}\)

Кольцо

Кольцо – это непустое множество K, на котором заданы две бинарные алгебраические операции, называемые сложением и умножением, со свойствами:

1. относительно сложения K является абелевой группой;
2. умножение дистрибутивно относительно сложения, то есть \(a(b+c)=ab+ac\) и \((a+b)c=ac+bc\) для любых \(a,b,c\in{K}\).

Поле

Поле – это коммутативное кольцо с единицей, в котором содержится не менее 2 элементов и каждый ненулевой элемент обратим.

Линейное пространство

Пусть P – произвольное поле, V – непустое множество. V называется линейным пространством над полем P, если:

1. на V задана бинарная алгебраическая операция, названная сложением;
2. V – абелева группа относительно заданного сложения;
3. задана операция умножения элементов поля P на элементы множества V \(\alpha\cdot{a}\), \(\alpha\in{P}\), \(a\in{V}\)
4. \((\alpha\beta)a=\alpha(\beta{a})\) для любых \(\alpha,\beta\in{P}\), \(a\in{V}\)
5. \(1\cdot{a}=a\) для любых \(a\in{V}\)
6. \(\alpha(a+b)=\alpha{a}+\alpha{b}\) для любых \(\alpha\in{P}\), \(a,b\in{V}\)
7. \((\alpha+\beta)a=\alpha{a}+\beta{a}\) для любых \(\alpha,\beta\in{P}\), \(a\in{V}\)

Линейное подпространство

Множество W элементов линейного пространства V на полем P называется подпространством, если:

1. Сумма любых двух элементов из W принадлежит W;
2. Произведение любого элемента из W на любой элемент из P также принадлежит W.