Многочлены

содержание справочника

1. Теорема Безу. Остаток от деления многочлена \(P(x)\) на \(x-c\) равен \(P(c)\)
2. Число \(a\) является корнем многочлена \(P(x)\) тогда и только тогда, когда \(P(x)\) делится на \(x-a\)
3. Число \(a\) называется корнем кратности \(k\), \(k\in{N}\), если многочлен делится на \((x-a)^k\), но не делится на \((x-a)^{k+1}\).
4.  Пусть \(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x_1+a_0\) – многочлен с целыми коэффициентами. Если несократимая дробь \(\displaystyle\frac{p}{q}\), где \(p\in{Z}\), \(q\in{N}\), является корнем многочлена, то \(q\) – делитель старшего коэффициента \(a_n\), \(p\) – делитель свободного коэффициента \(a_0\).
5. Пусть \(P(x)\) – многочлен с целыми коэффициентами. Если несократимая дробь \(\displaystyle\frac{p}{q}\), где \(p\in{Z}\), \(q\in{N}\), является корнем многочлена, то для любого целого \(k\) дробь \(\displaystyle\frac{P(k)}{p-kq}\) является целым числом, при условии, что \(p-kq\ne0\).
6. Теорема Виета. Пусть \(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x_1+a_0\) – многочлен степени \(n\) и \(x_1\), \(x_2\), …, \(x_n\) – его корни, причем каждый повторен столько раз, какова его кратность. Тогда \(\left\{\begin{array}{l l} x_1+x_2+…+x_n=-\displaystyle\frac{a_{n-1}}{a_n},\\ x_1x_2+x_1x_3+…+x_{n-1}x_n=-\displaystyle\frac{a_{n-2}}{a_n} ,\\  … \\ x_1x_2\cdot…\cdot{x}_n=(-1)^n\displaystyle\frac{a_0}{a_n} \end{array}\right.\)