ЕГЭ Досрочный вариант по математике март, 2017

Досрочный вариант
единого государственного экзамена 2017 года
по математике

Математика, 11 класс

Профильный уровень

Условия задач

1. В квартире установлен счетчик холодной воды. Показания 1 марта - 270 куб. м., а 1 апреля - 320 куб. м. Сколько нужно заплатить за холодную воду за март, если стоимость 1 куб. м. воды равна 14 руб. 50 коп.?

2. На рисунке жирными точками показана цена палладия на момент закрытия торгов. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - цена палладия в рублях за грамм. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку максимальную стоимость металла во второй половине месяца.

3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен четырехугольник. Найдите радиус окружности, которую можно вписать в данный четырехугольник.

4. Перед началом футбольного матча капитаны команд подбрасывают монету. Какова вероятность того, что команда «Статор» будет начинать все три матча?

5. Найдите корень уравнения $\log_7(5x-3)=2\log_73$

6. Найдите $\cos A$ , если известно, что AB = 10, CB = $\sqrt{19}$

7. На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$ . Найдите значение производной функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ .

8. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Известно, что AA₁ = 5, BC = 4 и D₁C₁ = 3. Найдите объем многогранника ADA₁B₁C₁D₁.

9. Найдите значение выражения $\displaystyle\frac{\sqrt[3]{36}\cdot\sqrt[5]{36}}{\sqrt[30]{36}}$

10. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $T(t)=T_0+bt+at^2$ , где $t$ - время в минутах, $T_0 = 1400$ К, $a = -10$ К/мин², $b=200$ K/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

11. Первый час автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, затем 2 часа со скоростью 110 км/ч, а следующие 2 часа со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всем пути. Ответ выразите в км/ч

12. Найдите наименьшее значение функции $y=6\cos x+\displaystyle\frac{24x}{\pi}+5$ на промежутке $[-2\pi/3;0]$

13. а) Решите уравнение $8^x-9\cdot2^{x+1}+2^{5-x}=0$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\log_52;\log_5{20}]$

14. Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью $\alpha$ , содержащей прямую BD₁ и параллельной прямой АС, является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD - квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и BCC₁, если AA₁ = 6 и AB = 4.

15. Решите неравенство $\log_2^2(25-x^2)-7\log_2(25-x^2)+12\ge0$

16. В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ - середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH - высота, угол BAC равен 60^o, угол BCA равен 45^o.

а) Докажите, что точки A₁, B₁, C₁ и H лежат на одной окружности.

б) Найдите A₁H, если BC равно $2\sqrt{3}$ .

17. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ (t=1;2;,...). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в $r+1$ раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях $r$ это возможно?

18. Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система неравенств $\left\{\begin{array}{l l}ax\ge2,\\ \sqrt{x-1}>a,\\ 3x\le2a+11\end{array}\right.$ имеет хотя бы одно решение на отрезке $[3;4]$