Полезные неравенства
Метод рационализации
| 1 | \(\log_h{f}-\log_h{g}\) | \((h-1)(f-g)\) |
| 2 | \(\log_h{f}-1\) | \((h-1)(f-h)\) |
| 3 | \(\log_h{f}\) | \((h-1)(f-1)\) |
| 4 | \(\log_f{h}-\log_g{h}\) | \((f-1)(g-1)(h-1)(g-f)\) |
| 5 | \(h^f-h^g\) | \((h-1)(f-g)\) |
| 6 | \(h^f-1\) | \((h-1)f\) |
| 7 | \(a^f-a^g\) | \((a-1)(f-g)\) |
| 8 | \(f^h-g^h\) | \((f-g)h\) |
| 9 | \(\sqrt[n]{f}-\sqrt[n]{g}\) | \(f-g\) |
| 10 | \(|f|-|g|\) | \((f-g)(f+g)\) |
Разные наравенства
- \((a-b)^2\ge0\)
- \(a^2+b^2\ge2ab\)
- \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) при \(a,b\ge0\)
- \(\displaystyle\frac{2ab}{a^2+b^2}\le1\)
- \((\displaystyle\frac{a+b}{2})^2\le\displaystyle\frac{a^2+b^2}{2}\)
- \(\displaystyle\frac{a+b}{2}\ge\frac{2}{\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\), где \(a,b>0\)
- \(\displaystyle\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\), где \(a,b\ge0\)
- \(\sqrt{ab}\ge\displaystyle\frac{2}{\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\), где \(a,b>0\)
- \(\sqrt{\displaystyle\frac{a^2+b^2}{2}}\ge\displaystyle\frac{a+b}{2}\)
- \(\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\), где \(ab>0\)
- \(\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le{-2}\), где \(ab<0\)
- \(a+\displaystyle\frac{b^2}{a}\ge2b\) при \(a>0\)
- \(a+\displaystyle\frac{b^2}{a}\le2b\) при \(a<0\)
- \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) при \(a,b,c\ge0\)
- \(|a|+|1-a|\ge1\) (равенство при \(a\in[0;1]\))
- \(|a+b|\leq |a|+|b|\)
- \(|a-b|\leq |a|+|b|\)
- \(|a-b|\geq |a|-|b|\)
- \(|a-b|\geq ||a|-|b||\)
- \(\sqrt{a+b}\le\sqrt{a}+\sqrt{b}\), где \(a,b\ge0\) (равенство при \(ab=0\))
- \(\displaystyle\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a+1}>\frac{2}{a}\), где \(a>1\)
- \(\displaystyle\frac{1-a}{1-b}+\displaystyle\frac{1-b}{1-a}\le\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\), где \(0<a,b\le\frac{1}{2}\)
- \(2^{n-1}\ge{n}\), где \(n\in{N}\)
- \((n!)^2\ge{n}^n\), где \(n\in{N}\)
- Неравенство Коши \(\displaystyle\frac{a_1+a_2+…+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1\cdot{a}_2\cdot…\cdot{a}_n}\), где \(a_1\ge0\), …, \(a_n\ge0\) (равенство при \(a_1=a_2=…=a_n\))
- Неравенство Буняковского \((a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)^2\le(a_1^2+a_2^2+…+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+…+b_n^2)\)
- Неравенство Бернулли \((1+h)^n\ge1+nh\), где \(h>-1,n\in{N}\)