Досрочный вариант
единого государственного экзамена 2017 года
по математике (апрель)

Математика, 11 класс

Условия задач

13. а) Решите уравнение \(\cos^2(\pi-x)-\sin(x+3\pi/2)=0\)

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([5\pi/2;4\pi]\)

14.  Длина диагонали куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 3. На луче A₁C отмечена точка P так, что A₁P=4.
a) Докажите, что грань PBDC₁ ‐ правильный тетраэдр;
б) Найдите длину отрезка AP.

15. Решите неравенство \((9^x-2\cdot3^x)^2-62\cdot(9^x-2\cdot3^x)-63\ge0\)

16. Точка М – середина гипотенузы AB треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет BC в точке N. а) Докажите, что угол CAN равен углу CMN. б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если тангенс угла BAC равен 4/3.

17.  www.itmathrepetitor.ru В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S – целое число. Условия его возврата таковы:
‐ каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
‐ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
‐ в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

Месяц и год	Июль 2026	Июль 2027	Июль 2028	Июль 2029
Долг (в млн. руб.)	\(S\)	\(0,8\cdot S\)	\(0,4\cdot S\)	0

Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн рублей.

18.  www.itmathrepetitor.ru Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система неравенств \(\left\{\begin{array}{l l} |x|+|a|\le4,\\ x^2+8x<16a+48 \end{array}\right.\)

имеет хотя бы одно решение на отрезке [-1;0].

19. На доске написано несколько (более одного) различных натуральных чисел, причем любые два из них отличаются не более чем в три раза.
а) Может ли на доске быть 5 чисел, сумма которых равна 47?
б) Может ли на доске быть 10 чисел, сумма которых равна 94?
в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 8000?

Ответы

13. а) \(\pi/2+\pi n\),\(\pi+2\pi k, n,k\in Z\); б) \(5\pi/2; 3\pi; 7\pi/2\)

14. \(\sqrt{11}\)

15.{0}\(\cup[2;+\infty)\)

16. 5/4

17. 8

18.\(a\in(8-8\sqrt{2};4]\)

19. а) да; б) нет; в) 2 или 3

смотрите также Досрочный ЕГЭ по математике 2015