Подготовка к ЕГЭ. ФИПИ Стереометрия 14 (от 17.10.25)

1. В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT:TD=2:1. Через точку Т  параллельно прямым AC и BD   проведена плоскость.  а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.  б) Найдите площадь сечения. ответ: б) 20/3
2. В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка T так, что AT:TD=1:2. Через точку Т  параллельно прямым AC и BD   проведена плоскость.  а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.  б) Найдите площадь сечения. ответ: б) 10
3. В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный (AB=BC) треугольник ABC. Точка K — середина ребра A1B1, а точка M делит ребро AC в отношении AM:MC=1:3.  а) Докажите, что  KM⊥AC.  б) Найдите угол между прямой KM  и плоскостью ABB1, если AB=6, AC=8 и AA1=3.
4. На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E:EA=1:2, на ребре BB1 — точка F так, что B1F:FB=1:5, а точка Т — середина ребра B1C1. Известно, что AB=2, AD=6, AA1=6  .  а) Докажите, что плоскость EFT  проходит через вершину D1  .  б) Найдите угол между плоскостью EFT  и плоскостью AA1B1.
5.   В основании пирамиды SABCD  лежит прямоугольник ABCD со стороной AB=5 и диагональю BD=9. Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF=BE=4  .  а) Докажите, что плоскость CEF  параллельна ребру SB  .  б) Плоскость CEF  пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.
6. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 8, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM=2, SK=1.  а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.  б) Найдите объём пирамиды BCKM.
7. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O — центр основания пирамиды, точка M — середина ребра SC, точка K делит ребро BC в отношении BK:KC=3:1, а AB=2 и SO=\(\sqrt{14}\).  а) Докажите, что плоскость OMK  параллельна прямой SA.  б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMK  пересекает грань SAD.
8. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C1, причём CC1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB=45°, AB=\(2\sqrt{3}\), CC1=\(2\sqrt{6}\).  а) Докажите, что угол между прямыми AC1  и BC равен 60°.  б) Найдите расстояние от точки B  до прямой AC1.
9. Различные точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S так, что отрезок AB является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°​.  а) Докажите, что cos∠ ASC+cos∠ BSC=1,5.  б) Найдите объём тетраэдра SABC,  если SC=1, cos∠ ASC=2/3.
10.   В основании пирамиды SABCD  лежит трапеция ABCD с основаниями AD  и BC, равными 8 и 3 соответственно. Точки M и N лежат на рёбрах SD  и BC соответственно, причём SM:MD=3:2, BN:NC=1:2. Плоскость AMN пересекает ребро SC в точке K.  а) Докажите, что SK:KC=6:1.  б) Плоскость AMN  делит пирамиду SABCD на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.
11. Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC  , является ромб.  а) Докажите, что грань ABCD  —   квадрат.  б) Найдите угол между плоскостями α  и BCC1, если AA1=10, AB=12.
12. На рёбрах BC, AB и AD правильного тетраэдра ABCD отмечены точки L, M и N соответственно. Известно, что BL:LC=AM:MB=AN:ND=1:2.  а) Докажите, что плоскость α,  проходящая через точки L, M, N, делит ребро CD в отношении 2:1, считая от вершины C.  б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD  плоскостью α, если AB=6.
13. В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно прямой SO.  а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD  плоскостью α   является трапецией.  б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD  плоскостью α, если AD=10, BC=8, SO=8, а прямая SO перпендикулярна прямой AD.
14. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF  сторона основания AB  равна 2, а боковое ребро SA  равно 8. Точка M  — середина ребра AB. Плоскость \(\alpha\)  перпендикулярна плоскости ABC  и содержит точки M  и D. Прямая SC  пересекает плоскость \(\alpha\) в точке K.  а) Докажите, что KM=KD.  б) Найдите объём пирамиды CDKM.
15. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B1 и C1, причём BB1 — образующая цилиндра, а отрезок AC1   пересекает ось цилиндра.  а) Докажите, что угол ABC1   прямой.  б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если AB=20 , BB1=15, B1C1=21.
16. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF  сторона основания AB  равна 5, а боковое ребро SA  равно 9. Точка M  лежит на ребре AB, при этом AM=1, а точка K лежит на ребре SC. Известно, что MK=KD. а) Докажите, что плоскость DKM перпендикулярна плоскости ABC.  б) Найдите площадь треугольника DKM.
17.   В правильной треугольной призме ABCA1B1C1  известно, что AB=2. Плоскость α проходит через вершины A1 и B и середину M ребра CC1.  а) Докажите, что сечение призмы ABCA1B1C1  плоскостью α   является равнобедренным треугольником.  б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью α  равна 6.
18. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B1 и C1, причём BB1 — образующая цилиндра, а отрезок AC1   пересекает ось цилиндра.  а) Докажите, что угол ABC1   прямой.  б) Найдите объём цилиндра, если AB=7 , BB1=24, B1C1=10.
19. В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит параллелограмм ABCD  с углом 60° при вершине A. На рёбрах A1B1, B1C1 и BC отмечены точки M, K и N соответственно так, что четырёхугольник AMKN —   равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 2.  а) Докажите, что точка M  — середина ребра A1B1.  б) Найдите высоту призмы, если её объём равен 5 и известно, что точка K  делит ребро B1C1 в отношении B1K:KC1=2:3.
20. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 8, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM=2, SK=1. Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и K.  а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) содержит точку C.  б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью \(\alpha\).
21.   В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A , B и C, а на окружности другого основания — точка C1, причём CC1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB=30°, AB=\(\sqrt{2}\), CC1=2.  а) Докажите, что угол между прямыми AC1  и BC равен 45°.  б) Найдите объём цилиндра.
22. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно \(\sqrt{21}\). На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM=4, SK:KB=1:3.  а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.  б) Найдите объём пирамиды BCKM. ответ: б) \(9\sqrt{3}/4\)
23. Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA1B1C1D1. Плоскость α проходит через вершины B1 и D и пересекает рёбра AA1 и CC1 в точках M и K соответственно. Известно, что четырёхугольник MB1KD —   ромб.  а) Докажите, что точка M  — середина ребра AA1.  б) Найдите высоту призмы ABCDA1B1C1D1,  если площадь её основания ABCD равна 3, а площадь ромба MB1KD равна 6.
24. В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=\(6\sqrt{2}\).  а) Докажите, что эта пирамида правильная.  б) На рёбрах DA  и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA=DN:NC=1:2. Найдите расстояние от точки D до плоскости MNB.
25. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD через ребро AB провели плоскость α, образующую сечение ABMN​, где точки M и N — точки пересечения плоскости α с боковыми рёбрами SC и SD соответственно. Известно, что AB=BM=AN=5MN​.     а) Докажите, что точки M  и N делят рёбра SC и SD в отношении 1:4, считая от вершины S.  б) Найдите косинус угла между плоскостью основания ABCD  и плоскостью α.
26. В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD=3 и BC=2. Точка M делит ребро A1D1 в отношении A1M:MD1=1:2, а точка K — середина ребра DD1.  а) Докажите, что плоскость MKC  параллельна прямой BD.  б) Найдите тангенс угла между плоскостью MKC  и плоскостью основания призмы, если ∠MKC=90°, ∠ADC=60°.
27. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 отметили точки M и K  на рёбрах AA1 и A1B1 соответственно. Известно, что A1M=2MA, A1K=KB1. Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно грани ABB1A1.  а) Докажите, что плоскость α  проходит через вершину C1.  б) Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1  плоскостью α, если все рёбра призмы равны 12.
28. Плоскость α перпендикулярна плоскости основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD и пересекает ребро SA в точке K. Сечение пирамиды плоскостью α является правильным треугольником площадью \(4\sqrt{3}\). а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна прямой AC.  б) В каком отношении точка K  делит ребро SA, считая от точки S, если объём пирамиды равен \(18\sqrt{3}\)?
29. В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K.     а) Докажите, что прямая MN  перпендикулярна рёбрам AB и CD.  б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD  плоскостью α, если известно, что BK=1, KC=3.
30. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC=SK:KC=1:2. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.  а) Докажите, что плоскость α  параллельна прямой SA.  б) Найдите угол между плоскостями α  и SBC.
31. Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, причём AB=\(2\sqrt{2}\), BC=4. Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин A и C опущены перпендикуляры AP и CQ на ребро SB  .  а) Докажите, что P  — середина отрезка BQ  .  б) Найдите угол между гранями SBA  и SBC, если SD=4.
32. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=\(6\sqrt{2}\), AD=10, AA1=16. На рёбрах AA1 и BB1 отмечены точки E и F соответственно, причём A1E:EA=5:3 и B1F:FB=5:11. Точка T — середина ребра B1C1  .  а) Докажите, что плоскость EFT  проходит через точку D1.  б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
33. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равны 4. Точка O — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой SA и проходящая через точку O, пересекает рёбра SC и SD в точках M и N соответственно. Точка N делит ребро SD в отношении SN:ND=1:3.     а) Докажите, что точка M  — середина ребра SC.     б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMN  пересекает грань SBC.
34. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC=SK:KC=1:3. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.  а) Докажите, что плоскость α  параллельна прямой SA  .  б) Найдите угол между плоскостями α  и SBC.
35. В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=\(5\sqrt{2}\).  а) Докажите, что эта пирамида правильная.  б) На рёбрах DA  и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA=DN:NC=2:3. Найдите площадь сечения MNB.
36. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1  сторона AB  основания равна 6, а боковое ребро AA1  равно 4. На рёбрах AA1  и BB1  отмечены точки M  и N  соответственно, причём AM=BN=3. а) Точки O  и O1  — центры окружностей, описанных около треугольников ABC  и A1B1C1  соответственно. Докажите, что прямая OO1  содержит точку пересечения медиан треугольника CMN. б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости CMN.
37. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через середину M диагонали AC1 проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB=5, BC=3, AA1=4.  а) Докажите, что плоскость α  содержит точку D1.  б) Найдите отношение, в котором плоскость α  делит ребро A1B1.
38. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=\(2\sqrt{2}\), AD=6, AA1=10. На рёбрах AA1 и BB1 отмечены точки E и F соответственно, причём A1E:EA=3:2 и B1F:FB=3:7. Точка T — середина ребра B1C1  .  а) Докажите, что плоскость EFT  проходит через точку D1  .  б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT .
39. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C1, причём CC1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB=30°, AB=1, CC1=\(2\sqrt{2}\).  а) Докажите, что угол между прямыми AC1  и BC равен 60°.  б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
40. В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB  в отношении AP:PB=1:3, а точка Q — середина ребра A1C1.  Через середину M ребра BC провели плоскость α, перпендикулярную отрезку PQ.  а) Докажите, что плоскость α  параллельна ребру AB.  б) Найдите отношение, в котором плоскость α  делит отрезок PQ, считая от точки P, если известно, что AB=AA1, AB:BC=2:5.
41. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD известно, что AB=1. Через точку O пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру SC провели плоскость α.  а) Докажите, что плоскость α  проходит через вершины B и D.  б) В каком отношении плоскость α  делит ребро SC​, считая от вершины S, если площадь сечения равна \(\sqrt{2}/3\)?
42. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны, на ребре AA1 отмечена точка M. Известно, что AM=2MA1. Через точки M и C1 провели плоскость α перпендикулярно грани ABB1A1.     а) Докажите, что плоскость α  делит ребро A1B1   пополам.  б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы ABCA1B1C1  плоскостью α равна \(\sqrt{39}\).
43. Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD является трапеция ABCD, причём ∠BAD+∠ADC=90°. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, K — точка пересечения прямых AB и CD.  а) Докажите, что плоскости PAB  и PCD   перпендикулярны.  б) Найдите объём пирамиды KBCP, если AB=BC=CD=4, а высота пирамиды PABCD равна 9.
44. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B1 и C1, причём BB1 — образующая цилиндра, а отрезок AC1   пересекает ось цилиндра.  а) Докажите, что угол ABC1   прямой.  б) Найдите расстояние от точки B  до прямой AC1, если AB=21, BB1=12, B1C1=16.
45. В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A1B1, B1C1 и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причём B1K:KC1=1:2. Четырёхугольник AMKN —   равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3.  а) Докажите, что точка N  — середина ребра BC.  б) Найдите площадь трапеции AMKN,  если объём призмы равен 12, а высота призмы равна 2.
46. Точка M — середина ребра SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD. Точка N лежит на ребре SB, SN:NB=1:2.  а) Докажите, что плоскость CMN  параллельна прямой SD.  б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD  плоскостью CMN, если все рёбра пирамиды равны 6.
47. На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM:MB=CN:NB=1:2. Точки P и Q — середины рёбер DA и DC   соответственно.  а) Докажите, что точки P , Q, M и N   лежат в одной плоскости.  б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM  разбивает пирамиду.
48. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки M и N — середины рёбер AB и AD   соответственно.  а) Докажите, что прямые B1N  и CM   перпендикулярны.  б) Плоскость α  проходит через точки N и B1 параллельно прямой CM. Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если B1N=6.
49. Точка M — середина бокового ребра SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD. Точка N лежит на стороне основания BC. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно боковому ребру SA.  а) Плоскость α  пересекает боковое ребро SD в точке L. Докажите, что BN:NC=DL:LS.  б) Плоскость α  делит пирамиду SABCD на два многогранника. Найдите отношение их объёмов, если BN:NC=1:3.
50. В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD=3 и BC=2. Точка M делит ребро A1D1 в отношении A1M:MD1=1:2, а точка K — середина ребра DD1.  а) Докажите, что плоскость MKC  делит отрезок BB1   пополам.  б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MKC,  если ∠MKC=90°, ∠ADC=60°.
51. На ребре SD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD  с основанием ABCD отмечена точка M, причём SM:MD=2:1. Точки P и Q — середины рёбер BC и AD   соответственно.  а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ   является равнобедренной трапецией.  б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ  разбивает пирамиду.
52. Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC, является ромб.  а) Докажите, что грань ABCD  —   квадрат.  б) Найдите угол между плоскостями α  и BCC1, если AA1=6, AB=4.
53. На рёбрах AC, AD, BD и BC тетраэдра ABCD отмечены точки K, L, M  и N соответственно, причём AK:KC=2:3. Четырёхугольник KLMN —   квадрат со стороной 2.  а) Докажите, что прямые AB  и CD   перпендикулярны.  б) Найдите расстояние от вершины B  до плоскости KLM, если объём тетраэдра ABCD равен 25.
54. В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB  в отношении AP:PB=1:3, а точка Q — середина ребра A1C1.  Через середину M ребра BC провели плоскость α, перпендикулярную отрезку PQ.  а) Докажите, что плоскость α  делит ребро AC   пополам.  б) Найдите отношение, в котором плоскость α  делит ребро A1C1, считая от точки A1, если известно, что AB=AA1, AB:BC=2:5.
55. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки M и K — середины рёбер AB и SC соответственно, а точки N и L отмечены на рёбрах SA и BC соответственно так, что отрезки MK и NL пересекаются, а AN=3NS.     а) Докажите, что прямые MN,  KL и SB   пересекаются в одной точке.  б) Найдите отношение BL:LC.
56. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки M и K — середины рёбер AB и SC соответственно. На продолжении ребра SB за точку S отмечена точка R. Прямые RM и RK пересекают рёбра AS и BC в точках N и L соответственно, причём BL=3LC.     а) Докажите, что отрезки MK  и NL   пересекаются.  б) Найдите отношение AN:NS.