Подготовка к ЕГЭ. ФИПИ Неравенства 15 (от 17.10.25)

1. \(\displaystyle\frac{15^x-3^{x+1}-5^{x+1}+15}{-x^2+2x}\ge0\) ответ: \((0;\log_53]\cup[\log_35;2)\)
2. \(\displaystyle\frac{\log_3(9x)\cdot\log_4(64x)}{5x^2-|x|}\le0\) ответ: \((0;1/64]\cup[1/9;1/5)\)
3. \(\log_{16}(x+5)+\log_{x^2+10x+25}2\ge\displaystyle\frac{3}{4}\) ответ: \((-4;-3]\cup[-1;+\infty)\)
4. \(\log_{49}(x+4)+\log_{x^2+8x+16}\sqrt{7}\le-\displaystyle\frac{3}{4}\) ответ: \((-4;-27/7]\cup[-4+1/\sqrt{7};-3)\)
5. \(\displaystyle\frac{\log_2(8x)\cdot\log_3(27x)}{x^2-|x|}\le0\) ответ: \((0;1/27]\cup[1/8;1)\)
6. \(\displaystyle\frac{10^x-25\cdot2^x-2\cdot5^x+50}{5x-x^2-4}\ge0\) ответ: \([2;4)\)
7. \(\displaystyle\frac{2}{3^x+27}\ge\frac{1}{3^x-27}\) ответ: \((-\infty;3)\cup[4;+\infty)\)
8. \(\log_5(3x+1)+\log_5(\frac{1}{72x^2}+1)\ge\log_5(\displaystyle\displaystyle\frac{1}{24x}+1)\) ответ: \((-1/3;-1/6]\cup(0;+\infty)\)
9. \(x^2\log_{243}(4-x)\le\log_3(x^2-8x+16)\) ответ: \([-\sqrt{10};3]\cup[\sqrt{10};4)\)
10. \(\displaystyle\frac{2^{3x}-2\cdot4^{x+1}+5\cdot2^{x+2}-16}{x-1}\ge0\) ответ: \((-\infty;1)\cup[2;+\infty)\)
11. \(\displaystyle\frac{4^x-3\cdot2^{x+1}+4}{2^x-5}+\frac{3\cdot2^{x+1}-46}{2^x-8}\le2^x+5\) ответ: \((-\infty;1]\cup(\log_25;3)\)
12. \(\log_5(\displaystyle\frac{2}{x}+2)-\log_5(x+3)\le\log_5\displaystyle\frac{x+6}{x^2}\) ответ: \([-2;-1)\cup(0;9]\)
13. \(\displaystyle\frac{\log_2x^2-\log_3x^2}{\log_6^2(2x^2-10x+12,5)+1}\ge0\) ответ: \((-\infty;-1]\cup[1;5/2)\cup(5/2;+\infty)\)
14. \(2\log_2(x\sqrt{5})-\log_2\displaystyle\frac{x}{1-x}\le\log_2(5x^2+\displaystyle\frac{1}{x}-2)\) ответ: \((0;1/\sqrt{5}]\cup[1/2;1)\)
15. \(\log_2^2(25-x^2)-7\log_2(25-x^2)+12\ge0\) ответ: \((-5;-\sqrt{17}]\cup[\sqrt{17};5)\cup[-3;3]\)
16. \(x^2\log_{625}(6-x)\le\log_5(x^2-12x+36)\) ответ: \([-2\sqrt{2};2\sqrt{2}]\cup[5;6)\)
17. \(\log_2(4x^2-1)-\log_2x\le\log_2(5x+\displaystyle\frac{9}{x}-11)\) ответ: \((1/2;1]\cup[10;+\infty)\)
18. \(\displaystyle\frac{8^{x+1}-40}{2\cdot64^x-32}\le1\) ответ: \(\{1/3\}\cup(2/3;+\infty)\)
19. \(\displaystyle\frac{3\cdot27^x-9^{x+1}+3^{x+2}-3}{50x^2-30x+4,5}\ge0\) ответ: \([0;3/10)\cup(3/10;+\infty)\)
20. \(\displaystyle\frac{\log_8x}{\log_8\displaystyle\frac{x}{64}}\ge\frac{2}{\log_8x}+\frac{3}{\log_8^2x-\log_8x^2}\) ответ: \((0;1)\cup\{8\}\cup(64;+\infty)\)
21. \(x^2\log_{512}(4-x)\ge\log_2(x^2-8x+16)\) ответ: \((-\infty;-3\sqrt{2}]\cup[3;4)\)
22. \(\displaystyle\frac{2\cdot8^{x-1}}{2\cdot8^{x-1}-1}\ge\frac{3}{8^x-1}+\frac{8}{64^x-5\cdot8^x+4}\) ответ: \((-\infty;0)\cup\{1/3\}\cup(2/3;+\infty)\)
23. \(\displaystyle\frac{13}{3^x-81}\le\frac{1}{3^x-9}\) ответ: \((-\infty;1]\cup(2;4)\)
24. \(\displaystyle\frac{\log_2(2-x)-\log_2(x+1)}{\log_2^2x^2+\log_2x^4+1}\ge0\) ответ: \((-1;-1/\sqrt{2})\cup(-1/\sqrt{2};0)\cup(0;1/2]\)
25. \(\log_5((3-x)(x^2+2))\ge\log_5(x^2-7x+12)+\log_5(5-x)\) ответ: [2;3)
26. \(\displaystyle\frac{2\log_3(9x)-13}{\log_3^2x-\log_3x^4}\le1\) ответ: \((0;1)\cup\{27\}\cup(81;+\infty)\)
27. \(\displaystyle\frac{8^{x+\frac{2}{3}}-9\cdot4^{x+\frac{1}{2}}+13\cdot2^x-13}{4^{x+\frac{1}{2}}-9\cdot2^x+4}\le2^{x+1}-\frac{1}{2^x-2}+\frac{3}{2^{x+1}-1}\) ответ: \((-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup[\log_23;2)\)
28. \(\log_4((x-5)(x^2-2x-15))+1\ge0,5\log_2(x-5)^2\) ответ: \([-11/4;5)\cup(5;+\infty)\)
29. \(\displaystyle\frac{4}{3^x-27}\ge\frac{1}{3^x-9}\) ответ: \([1;2)\cup(3;+\infty)\)
30. \(\displaystyle\frac{\log_2(4x^2)+35}{\log_2^2x-36}\ge-1\) ответ: \((0;1/64)\cup\{1/2\}\cup(64;+\infty)\)
31. \(\log_{11}(2x^2+1)+\log_{11}(\displaystyle\frac{1}{32x}+1)\ge\log_{11}(\displaystyle\frac{x}{16}+1)\) ответ: \((-16;-1/4]\cup(0;+\infty)\)
32. \(\log_3^2(x^2-16)-5\log_3(x^2-16)+6\ge0\) ответ: \((-\infty;-\sqrt{43}]\cup[-5;-4)\cup(4;5]\cup[\sqrt{43};+\infty)\)
33. \(\displaystyle\frac{27^x-9^{x+1}+3^{x+3}-27}{50x^2-110x+60,5}\ge0\) ответ: [1;11/10)
34. \(1+\displaystyle\frac{6}{\log_3x-3}+\frac{5}{\log_3^2x-\log_3(27x^6)+12}\ge0\) ответ: \((0;1/9]\cup[9;27)\cup(27;+\infty)\)
35. \(x^2\log_{625}(-2-x)\ge\log_5(x^2+4x+4)\) ответ: \((-\infty;-3]\cup[-2\sqrt{2};-2)\)
36. \(\displaystyle\frac{\log_3(81x)}{\log_3x-4}+\frac{\log_3x-4}{\log_3(81x)}\ge\frac{24-\log_3x^8}{\log_3^2x-16}\) ответ: \((0;1/81)\cup\{1/9\}\cup(81;+\infty)\)
37. \(\displaystyle\frac{3^{3x}-15\cdot9^x+7\cdot3^{x+2}-81}{x-1}\le0\) ответ: \((1;2]\)
38. \(\log_{11}(8x^2+7)-\log_{11}(x^2+x+1)\ge\log_{11}(\displaystyle\frac{x}{x+5}+7)\) ответ: \((-\infty;-12]\cup(-35/8;0]\)
39. \(\log_3((2-x)(x^2+5))\ge\log_3(x^2-5x+6)+\log_3(4-x)\) ответ: \([1;2)\)
40. \(1+\displaystyle\frac{5}{\log_4x-3}+\frac{6}{\log_4^2x-\log_4(64x^6)+12}\ge0\) ответ: \((0;1]\cup[1;64)\cup(64;+\infty)\)
41. \(\log_2^2(x^2-9)-9\log_2(x^2-9)+20\ge0\) ответ: \((-\infty;-\sqrt{41}]\cup[-5;-3)\cup(3;5]\cup[\sqrt{41};+\infty)\)
42. \(\displaystyle\frac{x^3+x^2-x-1}{4^{x^2}-8\cdot2^{x^2}+16}\ge0\) ответ: \([1;\sqrt{2})\cup\{-1\}\cup(\sqrt{2};+\infty)\)
43. \(12^x-8^x-2\cdot6^{x+1}+3\cdot4^{x+1}+32\cdot3^x-2^{x+5}\le0\) ответ: \((-\infty;0]\cup[2;3]\)
44. \(1+\displaystyle\frac{10}{\log_2x-5}+\frac{16}{\log_2^2x-\log_2(32x^{10})+30}\ge0\) ответ: \((0;1/8]\cup[8;32)\cup(32;+\infty)\)
45. \(3^x+\displaystyle\frac{243}{3^x-84}\le0\) ответ: \((-\infty;1]\cup[4;\log_384)\)
46. \(\log_3^2(25-x^2)-3\log_3(25-x^2)+2\ge0\) ответ: \((-5;-\sqrt{22}]\cup[-4;4]\cup[\sqrt{22};5)\)
47. \(\displaystyle\frac{8x^3-4x^2-2x+1}{16^{x^2}-4\cdot4^{x^2}+4}\le0\) ответ: \((-\infty;-\sqrt{2}/2)\cup(-\sqrt{2}/2;-1/2]\cup\{1/2\}\)
48. \(11^x-6-\displaystyle\frac{24\cdot11^x-244}{121^x-16\cdot11^x+60}\le\frac{1}{11^x-10}\) ответ: \((-\infty;0]\cup(\log_{11}6;\log_{11}10)\cup(\log_{11}10;1]\)
49. \((\log_{0,25}^2(x+3)-\log_4(x^2+6x+9)+1)\cdot\log_4(x+2)\le0\) ответ: \((-2;-1]\cup\{1\}\)
50. \(\log_3(\displaystyle\frac{1}{x}+2)-\log_3(x+5)\ge\log_3\displaystyle\frac{x+4}{x^2}\) ответ: \([-2;-1/2)\cup[10;+\infty)\)
51. \(\log_{0,5}(x^3-3x^2-9x+27)\le\log_{0,25}(x-3)^4\) ответ: \([-2;3)\cup(3;+\infty)\)
52. \(\displaystyle\frac{1}{3^x+21}+\frac{1}{3^x-27}\ge0\) ответ: \((-\infty;1]\cup(3;+\infty)\)
53. \(\displaystyle\frac{\log_5(25x)}{\log_5x-2}+\frac{\log_5x-2}{\log_5(25x)}\ge\frac{6-\log_5x^4}{\log_5^2x-4}\) ответ: \((0;1/25)\cup\{1/5\}\cup(25;+\infty)\)
54. \(\displaystyle\frac{3^x+9}{3^x-9}+\frac{3^x-9}{3^x+9}\ge\frac{4\cdot3^{x+1}+144}{9^x-81}\) ответ: \(\{1\}\cup(2;+\infty)\)
55. \(\displaystyle\frac{\log_232x}{\log_2x-5}+\frac{\log_2x-5}{\log_232x}\ge\frac{\log_2x^{16}+18}{\log_2^2x-25}\) ответ: \((0;1/32)\cup\{16\}\cup(32;+\infty)\)
56. \(3^x+\displaystyle\frac{243}{3^x-36}\ge0\) ответ:  \([2;3]\cup(2\log_36;+\infty)\)
57. \(x^2\log_{512}(x+7)\le\log_2(x^2+14x+49)\) ответ: \((-7;-6]\cup[-3\sqrt{2};3\sqrt{2}]\)
58. \(\displaystyle\frac{\log_4(16x^4)+11}{\log_4^2x-9}\ge-1\) ответ: \((0;1/64)\cup\{1/16\}\cup(64;+\infty)\)
59. \(\log_7(2x^2+12)-\log_7(x^2-x+12)\ge\log_7(2-\displaystyle\frac{1}{x})\) ответ: \((1/2;4/3]\cup[3;+\infty)\)
60. \(\log_8(x^3-3x^2+3x-1)\ge\log_2(x^2-1)-5\) ответ: \((1;31]\)
61. \(\displaystyle\frac{\log_4(64x)}{\log_4x-3}+\frac{\log_4x-3}{\log_4(64x)}\ge\frac{\log_4x^4+16}{\log_4^2x-9}\) ответ: \((0;1/64)\cup\{4\}\cup(64;+\infty)\)
62. \(7\log_{12}(x^2-13x+42)\le8+\log_{12}\displaystyle\frac{(x-7)^7}{x-6}\) ответ: \([-6;6)\cup(7;18]\)