Решение тренировочной работы по математике
МИОО 24 сентября 2015 г
13. Материал сайта www.itmathrepetitor.ru а) Из уравнения следует, что
или
. При этом помним, что и тангенс, и квадратный корень должны существовать. Поэтому второе уравнение
можно не рассматривать, так как
из-за тангенса. Остается решить уравнение
с ограничением
из-за квадратного корня. Получаем
и
. Из этого множества углов оставляем только те, которые принадлежат I или IV четверти. Поэтому
.
б) Материал сайта www.itmathrepetitor.ru В этом пункте необходимо из найденного множества корней выбрать только те, которые принадлежат отрезку . Так как корни заданы довольно простой формулой, то можно попробовать определить углы "на глаз". Но применим более общий способ, чтобы на экзамене быть во всеоружии. Разобьем формулу
на две более простых
и
и каждую поместим в двойное неравенство. То есть
и
.
Решим первое неравенство (второе рассмотрите самостоятельно). Домножим все три части на и перенесем
из средней части в крайние (слагаемое
поменяет знак и появится в обеих частях, что кажется странным, ибо было одно слагаемое, а стало два, но ошибки здесь нет):
, откуда
. Так как
, то есть
- целое число, то
. Подставляем это значение в формулу
и получаем, что
. Из второй формулы получим угол, равный
.
15.1. Перед решением полезно вспомнить, что существует только при
, что
и что
. Подробности можно посмотреть в справочнике.
Заметим, что и
. Здесь мы использовали формулы сокращенного умножения (квадрат разности и формула разложения квадратного трехчлена). Поэтому неравенство принимает вид
. Типичной ошибкой было бы забыть про модуль.
Далее из существования второго слагаемого следует, что , значит, подмодульное выражение положительно и
. Материал сайта www.itmathrepetitor.ru
Рассмотрим второе слагаемое. Можно формально применить свойство и получить, например, выражение
. И здесь будет допущена ошибка, связанная с тем, что в свойстве
неявно предполагается, что все три логарифма существуют, то есть
. В противном случае формулу применять нельзя. В нашем примере
и
не существует. Поэтому предварительно запишем логарифм в виде
. Теперь обе скобки положительны и уравнение принимает вид
.
Пусть , тогда
, откуда
. Возвратимся к замене.
. При этом хотя бы устно необходимо проверить ограничения на
из исходного неравенства.
15.2
. Заметим, что множитель
можно удалить из знаменателя, так как он положителен и знак дроби зависит только от остальных множителей. Приходим к неравенству
.
Откуда методом интервалов находим ответ
17. www.itmathrepetitor.ru Прибыль за один год равна млн. руб. Данное выражение является квадратным трехчленом с отрицательным коэффициентом
, поэтому его наибольшее значение существует (ветви параболы направлены вниз) и достигается при
(по формуле нахождения абсциссы вершины параболы). А наибольшее значение равно
(определили банальной подстановкой
в формулу прибыли). Тогда
, откуда
. Так как цена
не может быть отрицательной, то
. Значит, наименьшее значение равно
.
смотрите еще Демонстрационный вариант КИМ для проведения в 2016 году ЕГЭ по математике 11 класс Профильный уровень