Тренировочная работа МИОО

24 сентября 2015 г

 

Условия задач, ответы и решения

 

13. а) Решите уравнение \((tg^2 x-1)\sqrt{13\cos x}=0\); Решение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-3\pi; -3\pi/2]\) Решение

14. На ребре \(AA_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) взята точка \(E\) так, что \(A_1E:EA=1:2\), на ребре \(BB_1\) – точка \(F\) так, что \(B_1F:FB=1:5\), а точка \(T\) – середина ребра \(B_1C_1\). Известно, что \(AB=4\), \(AD=2\) и \(AA_1=6\). а) Докажите, что плоскость \(EFT\) проходит через вершину \(D_1\). б) Найдите угол между плоскостью \(EFT\) и плоскостью \(BB_1C_1\).

15.1 Решите неравенство \(0,5\log_{x-2}(x^2-10x+25)+\log_{5-x}(-x^2+7x-10)\ge 3\) Решение

15.2 Решите неравенство \(\displaystyle\frac{x}{x^2+3}\le (1:4)x^{-1}\) Решение

16. Дана равнобедренная трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне KL как на диаметре, касается боковой стороны MN и второй раз пересекает большее основание KN в точке H, точка Q — середина MN.
а) Докажите, что четырёхугольник NQOH — параллелограмм.
б) Найдите KN , если угол LKN = 75⁰ и LM = 1

17. Производство \(x\) тыс. единиц продукции обходится в \(q=0,5x^2+x+7\) млн. рублей в год. При цене \(p\) тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн. рублей) составляет \(px-q\). При каком наименьшем значении \(p\) через три года суммарная прибыль составит не менее 75 млн. рублей? Решение

18. Найдите все целочисленные значения параметра \(a\), при каждом из которых система \(\left\{\begin{array}{l l} \sqrt{(x-1)^2+(y-a)^2}+\sqrt{(x-5)^2+(y-a)^2}=4,\\ x^2-|a+1|x-2a^2=3\end{array}\right.\) имеет единственное решение.

19. Известно, что \(a, b, c\) и \(d\) – попарно различные положительные двузначные числа.

а) Может ли выполняться равенство \(\displaystyle\frac{a+c}{b+d}=\frac{9}{23}\)?

б) Может ли дробь \(\displaystyle\frac{a+c}{b+d}\) быть в 11 раз меньше, чем сумма \(\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\)?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь \(\displaystyle\frac{a+c}{b+d}\), если \(a>5b\) и \(c>8d\)?

@СтатГрад

смотрите еще Демонстрационный вариант КИМ для проведения в 2016 году ЕГЭ  по математике 11 класс Профильный уровень

Ответы

13. а) \(\pm\pi/4+2n\pi, n\in Z\) б)\(-7\pi/4; -9\pi/4\)
14. б)\(\arccos({\sqrt{33}/33})\)
15. 1) \((3;4)\) 2) \((-\infty; -1]\cup (0;1]\)
16. б) 3
17. p=9
18. \(-2; \pm 1; 0\)
19. а) да б) нет в) \(\displaystyle\frac{177}{29}\)