Итоговая контрольная работа
Вариант 10
- В автобусе ехало не более ста пассажиров, причем число сидящих пассажиров было ровно в 2 раза больше числа стоящих. На остановке из автобуса вышло ровно 4% всех пассажиров. Найдите число пассажиров, оставшихся в автобусе.
- Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции с ее основаниями, равны S1 и S2. Найдите площадь трапеции.
- Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
- В треугольнике АВС середина стороны ВС, центр вписанной окружности и точка касания вписанной окружности со стороной АВ лежат на одной прямой. Найдите АВ, если ВС=36, АС=34.
- Вычислить \(\displaystyle\frac{\log_b{a}-\log_a{b}}{\log_a{c}+\log_b{c}}\), если \(a=0,68\), \(b=2,72\), \(c=0,5\).
- Найти сумму 7+77+777+7777+…+77..7 (в последнем слагаемом n цифр)
- При каком \(a\) решением неравенства \((x-a)^2(x-2)(x+3)\le0\) будет отрезок?
- \(\displaystyle\frac{x^2-7|x|+10}{x^2-6x+9}<0\)
- Известно, что \(x^2+xy+y^2=4\) и \(x^4+x^2y^2+y^4=8\). Найдите значение выражения \(x^6+x^3y^3+y^6\).
- \(\log_{x^2}(x+\frac{1}{3})\le\log_{2x+3}(x+\frac{1}{3})\)
- \(\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{x^2-x+7}=\sqrt{2x^2-2x+21}\)
- \(2\sin(3x+\frac{\pi}{4})=\sqrt{1+8\sin{2x}\cos^2{2x}}\)
- В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 12. Диагональ трапеции равна 15 и делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найдите основания трапеции.
- При каких \(a\) функция \(f(x)=x^2-2|x-a^2|-8x\) имеет хотя бы одну точку максимума?
- На координатной плоскости нарисована парабола \(y=\frac{1}{2}x^2\). Прямая, проходящая через точку (0;2), пересекает параболу в точках А и В. Найдите величину угла АОВ, где О – начало координат.
- Найти все корни уравнения \(\cos(\frac{\pi}{8}(3x-\sqrt{9x^2+160x+800}))=1\), являющиеся целыми числами.
- Стороны треугольника АВС равны АВ=13, ВС=12, АС=5. Две касающиеся внешним образом окружности одинакового радиуса расположены внутри треугольника так, что одна из них касается сторон АВ и АС, а другая – сторон АВ и ВС. Найдите радиус этих окружностей.
- В треугольнике ABC проведена средняя линия MN, параллельная AC. Окружность, проходящая через точки M, N и C, касается стороны AB, а ее радиус равен \(\sqrt{2}\). Найти синус угла ACB, если AC = 2.
- На клетчатой бумаге отмечены 100 вершин соседних клеток (два параллельных ряда точек, по 50 точек в каждом ряду). Найдите число равнобедренных треугольников с вершинами в отмеченных точках.
- При каких \(a\) система \(\left\{\begin{array}{l l} y\ge{x^2+2a},\\ x\ge{y^2+2a} \end{array}\right.\) имеет единственное решение?
смотрите еще Вступительные экзамены и МГУ. Дополнительное вступительное испытание 2013