Итоговая контрольная работа

Вариант 9

1. Две бригады трактористов одновременно начали пахать 2 участка земли, причем участок второй бригады вдвое больше участка первой. Во второй бригаде было на 10 трактористов больше, чем в первой. Когда первая бригада еще работала, вторая уже вспахала свой участок. Какое наибольшее число трактористов могло быть в первой бригаде, если все трактористы работали с одинаковой скоростью?
2. Основания трапеции равны a и b. Найдите длину отрезка, параллельного основаниям, с концами на боковых сторонах, делящего площадь трапеции пополам.
3. Стрелок стреляет в тире по восьми одинаковым мишеням. Вероятность попасть в каждую мишень при каждом выстреле одна и та же. Чтобы сбить все восемь мишеней, стрелку потребовалось 11 выстрелов. Какова вероятность того, что первыми пятью выстрелами стрелок сбил хотя бы четыре мишени?
4. Найдите остаток от деления числа \(a\) на 12, если остаток при делении \(a\) на 3 равен 2, а при делении \(a\) на 4 остаток равен 1.
5. Вычислить \(\sin(\mathrm{arctg}\frac{8}{15}-\mathrm{arccos}\frac{15}{17})\)
6. Три числа, сумма которых равна 78, составляют геометрическую прогрессию и являются также первым, третьим и девятым членами арифметической прогрессии. Найти эти числа.
7. \((x-a)^2(x-2a)<0\)
8. \((|x|-5)(|x|-7)\le0\)
9. Даны две последовательности: 1, 4, 7, …, 2005 и 1, 6, 11, …, 2006. Найти сумму всех общих членов этих последовательностей.
10. У Пети есть волшебная палочка, способная создавать любой предмет, но только в единственном экземпляре. Срочно нужно десять одинаковых кирпичей. Что делать?
11. \((x-3)\sqrt{x^2+4}\le{x^2-9}\)
12. Основания трапеции равны 4 и 16. Найдите ее площадь, если известно, что в трапецию можно вписать и вокруг нее можно описать окружность.
13. При каких \(a\) существует круг, содержащий все точки (x;y), удовлетворяющие неравенствам \(2y-x\le1\), \(y+2x\le2\) и \(y+ax\ge-1\)
14. Сколько имеется четных четырехзначных чисел, у которых все цифры различны?
15. \(\sqrt{5\sin{x}+\cos{2x}}+2\cos{x}=0\)
16. Диагонали АС и BD трапеции ABCD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О, причём АО · СО = ВО · DO.
    а) Докажите, что трапеция АBСD – равнобедренная.
    б) Найдите радиус описанной вокруг трапеции окружности, ecли основа­ния трапеции равны 6 и 8
17. При каких \(a\) система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} (x-4)^2+(y-4)^2=4,\\ y=|x-a|+3a \end{array}\right.\) имеет ровно одно решение?
18. Точки M и N – середины сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD. Найдите площадь четырехугольника AMCN, если площадь ABCD равна 20.
19. На прямой \(2x-3y=6\) найти точку, через которую проходят две перпендикулярные друг другу касательные к графику функции \(y=\frac{x^2}{4}\).
20. При каких \(a\) уравнение \(\cos{2x}+2\cos{x}-2a^2-2a+1=0\) имеет ровно одно решение на \([0;2\pi)\)?

смотрите еще Вступительные экзамены и МГУ. Дополнительное вступительное испытание 2013