Итоговая контрольная работа

Вариант 6

1. Для уборки урожая было выделено несколько одинаковых комбайнов, которые могли бы убрать поле за 24 ч, если приступили к работе одновременно. Но случилось так, что они приступали к работе один за другим через равные промежутки времени, и затем каждый работал до окончания уборки. За какое время была проведена уборка урожая, если первый комбайн работал в 5 раз дольше, чем последний?
2. В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка D так, что BD : DC = 1 : 2. В каком отношении медиана CE делит отрезок AD?
3. Правильный игральный кубик бросали до тех пор, пока сумма выпавших при всех бросках очков не стала больше чем 2. Известно, что общая сумма очков оказалась равна 3. Какова вероятность того, что было сделано ровно два броска? Ответ округлите до сотых.
4. Найдите уравнения касательных к окружности \(x^2+y^2-6x+4y-12=0\), проведенных из точки P(0;3).
5. Вычислить \(\cos\displaystyle\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}\)
6. Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите угол АСВ, если ОС = АВ.
7. \(\displaystyle\frac{x^3+5x-6}{x+2}\ge0\)
8. \(\displaystyle\frac{|x^2-4x|+3}{x^2+|x-5|}=1\)
9. \(3\cdot4^{x}+2\cdot9^{x}=5\cdot6^{x}\)
10. \(\mathrm{lg}^2(-x)+\mathrm{lg}x^2<3\)
11. \(x^2+3x-18+4\sqrt{x^2+3x-6}=0\)
12. \(\sin^4{2x}+\cos^4{2x}=\sin{2x}\cdot\cos{2x}\)
13. Окружности C и C1 , радиусы которых соответственно равны 5 и 4, касаются внешне. Прямая, касающаяся окружности C1 в точке A, пересекает окружность C в точках E и F так, что AE = EF. Найти AF.
14. Найдите наибольшее значение выражения \(3x-2y\), если \(4x^2+y^2=16\)
15. \(\sqrt{1-2\cos{x}}\cdot\log_5(-2\sin{x})=0\)
16. Решить в целых числах уравнение \(2x^2-2xy+9x+y=2\)
17. Сколько различных натуральных делителей имеет число \(2^3\cdot3^4\cdot5^2\)?
18. В квадрате ABCD точка B соединена с серединами сторон AD и CD соответственно точками M и N. Найдите, какую часть площади квадрата составляет площадь треугольника, ограниченного отрезками BM и BN и диагональю AC.
19. На координатной плоскости задан треугольник с вершинами А(0, 0), В(0, 4), С(2, 4). К графику функции \(y=2x+\frac{2}{x}\), x>0, проведена касательная, отсекающая от треугольника АВС четырехугольник, около которого можно описать окружность. Найдите координаты центра этой окружности.
20. При каких значениях параметра \(a\) один из корней уравнения \((a^2+a+1)x^2+(2a-3)x+a-5=0\) больше 1, а другой меньше 1?

смотрите еще Вступительные экзамены и МГУ. Дополнительное вступительное испытание 2013