Итоговая контрольная работа

Вариант 7

1. Имеются два различных сплава меди со свинцом. Если взять 1 кг первого сплава и 1 кг второго сплава и переплавить их, то получится сплав, содержащий 65% меди. Если же взять два куска—кусок I первого сплава и кусок II второго сплава, имеющих суммарную массу 7 кг, и переплавить их, то получится сплав с содержанием 60% меди. Какова масса меди, содержащейся в сплаве, получающемся при совместной переплавке куска первого сплава, равного по массе куску II, и куска второго сплава, равного по массе куску I?
2. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и CE. Найти длину отрезка DE, если AC = 6, AE = 2, CD = 3.

3. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем  — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98? В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов.

4. \(\left\{\begin{array}{l l} 3x^2y^2-x^2+2xy-12=0,\\ 5x^2y^2-2x^2-3xy-6=0 \end{array}\right.\)
5. Вычислить \(\displaystyle\frac{4-5\sin{x}}{2+3\cos{x}}\) , если \(\mathrm{ctg}\displaystyle\frac{x}{2}=-\displaystyle\frac{3}{2}\)
6. Все члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии положительны. Сумма первых трех членов равна 39, а сумма обратных величин этих членов равна 13/27. Найти сумму прогрессии.
7. \(2x^2+2x+1-\displaystyle\frac{15}{x^2+x+1}<0\)
8. \(\displaystyle\frac{|2-x|-x}{|x-3|-1}\le2\)
9. \(7^x-2^{x+2}<5\cdot7^{x-1}-2^{x-1}\)
10. \(\log_{3x}\displaystyle\frac{3}{x}+\log^2_3{x}\le1\)
11. \(\sqrt{2x^2-3x-5}<x-1\)
12. \(\sin^2{x}-\cos{2x}=2-2\sin{2x}\)
13. Окружности C и C1 , радиусы которых равны соответственно 3 и 2, имеют внутреннее касание в точке A. Найти радиус окружности C2 , касающейся окружностей C, C1 и их общего диаметра AB.
14. Известно, что \(f(x-y)=f(x)+f(y)-2xy\) для любых \(x\) и \(y\). Найдите \(f(2025)\).
15. Найдите наименьшее значение выражения \(2x^2+3xy+4y^2\), если \(x^2-xy+2y^2=3\)
16. Решить в целых числах уравнение \(3x+2y=7\)
17. \(\sqrt{3x^2-1}+\sqrt{x^2-x+1}=\sqrt{3x^2+2x+1}+\sqrt{x^2+2x+4}\)
18. В треугольнике ABC угол BAC равен 60^o, BH и CK – высоты, проведенные к сторонам AC и AB, точка M – середина стороны BC, KH = 4. Найдите периметр треугольника KMH.
19. Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости соотношением \(|y-\frac{1}{2}x^2|+|y+\frac{1}{2}x^2|\le2+x\)
20. При каких \(a\) уравнение \((a-1)4^x+(2a-3)6^x=(3a-4)9^{x}\) имеет единственное решение?

смотрите еще Вступительные экзамены и МГУ. Дополнительное вступительное испытание 2013