Подготовка к ЕГЭ. ФИПИ Параметры 18 (от 15.10.25)

1. Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \((x+\mathrm{ln}(x+a))^2=(x-\mathrm{ln}(x+a))^2\) имеет единственное решение на отрезке [0;1]. ответ: {0}∪[1;+∞)
2. Найдите все значения \(a\), для каждого из которых уравнение \(4^x+(a-6)2^x=(2+3|a|)\cdot2^x+(a-6)(3|a|+2)\) имеет единственное решение. ответ: \(\{-2;1\}\cup[6;+\infty)\)
3. Найдите все значения \(a\), для каждого из которых уравнение \(25^x-(a+6)5^x=(5+3|a|)5^x-(a+6)(3|a|+5)\) имеет единственное решение.
4. Найдите все значения параметра \(a\), для каждого из которых уравнение \(\sqrt{x^4-4x^2+9a^2}=x^2+2x-3a\) имеет ровно 3 решения.
5. Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \((2x+a+1-\mathrm{tg}x)^2=(2x+a-1+\mathrm{tg}x)^2\) имеет единственное решение на отрезке \([0;\pi]\).
6. Найдите все значения параметра \(a\), для каждого из которых уравнение \(\sqrt{x^4-16x^2+64a^2}=x^2+4x-8a\) имеет ровно 3 решения.
7. Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \((2x+a+1+\mathrm{tg}x)^2=(2x+a-1-\mathrm{tg}x)^2\) имеет единственное решение на отрезке \([-\pi/2;\pi/2]\).
8. Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \((2x+\mathrm{ln}(x+2a))^2=(2x-\mathrm{ln}(x+2a))^2\) имеет единственный корень на отрезке [0;1]. ответ: {0}∪[0,5;+∞)
9. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} (xy^2-3xy-3y+9)\sqrt{3-x}=0,\\ y=ax \end{array}\right.\) имеет ровно три различных решения. ответ: \((0;1/3)\)
10. Найдите все значения \(a\), для каждого из которых уравнение \(\sqrt{2-3x}\cdot\mathrm{ln}(16x^2-a^2)=\sqrt{2-3x}\cdot\mathrm{ln}(4x+a)\) имеет единственное решение.
11. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} x+ay+a-2=0,\\ x|y|+x-2=0 \end{array}\right.\) имеет единственное решение. ответ: \((-\infty;0]\cup(1/2;+\infty)\)
12. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} \log_7(36-y^2)=\log_7(36-a^2x^2),\\ x^2+y^2=2x+6y \end{array}\right.\) имеет ровно два различных решения.
13. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} x^4+y^2=a^2,\\ x^2+y=|2a-4| \end{array}\right.\) имеет ровно четыре различных решения.
14. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} y=|x-a|-4,\\ 4|y|+x^2+8x=0 \end{array}\right.\) имеет ровно четыре различных решения.
15. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} x^2+y^2-4(a+1)x-2ay+5a^2+8a+3=0,\\ y^2=x^2 \end{array}\right.\) имеет ровно четыре различных решения.
16. Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \(\sqrt{4x-1}\cdot\mathrm{ln}(x^2-2x+2-a^2)=0\) имеет единственное решение на отрезке [0;1].
17. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} x+y=a,\\ |y|=|x^2-2x| \end{array}\right.\) имеет ровно два различных решения. ответ: \((-\infty;-1/4)\cup(9/4;+\infty)\)
18. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система неравенств \(\left\{\begin{array}{l l} 2a\le{x},\\ 6x>x^2+a^2,\\ x+a\le6 \end{array}\right.\) имеет хотя бы одно решение на отрезке [4;5]. ответ: \((-2\sqrt{2};2]\)
19. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \(a\displaystyle(x+\frac{4}{x})^2+2(x+\frac{4}{x})-25a+10=0\) имеет ровно два различных корня.
20. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \(x^2+a^2-x-7a=|7x-a|\) имеет ровно два различных корня.
21. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \((4x+|x-a|-|3x+1|)^2-(a+1)(4x+|x-a|-|3x+1|)+1=0\) имеет ровно два различных корня.
22. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} (x+ay-5)(x+ay-5a)=0,\\ x^2+y^2=16 \end{array}\right.\) имеет ровно четыре различных решения.
23. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} (x^2-5x-y+3)\sqrt{x-y+3}=0,\\ y=3x+a \end{array}\right.\) имеет ровно два различных решения.
24. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система неравенств \(\left\{\begin{array}{l l} a(x-1)\ge4,\\ 2\sqrt{x-2}\ge{a},\\ 3x<a+14 \end{array}\right.\) имеет хотя бы одно решение на отрезке [4;5] ответ: \((1;2\sqrt{3}]\)
25. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} y=(a+2)x^2+2ax+a-2,\\ y^2=x^2 \end{array}\right.\) имеет ровно четыре различных решения.
26. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} (x^2-5x-y+3)\sqrt{x-y+3}=0,\\ y=ax+a \end{array}\right.\) имеет ровно два различных решения.
27. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} (x^2+y^2+4x)\sqrt{2x+y+6}=0,\\ y=ax-2a \end{array}\right.\) имеет ровно два различных решения.
28. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \(|x^2+a^2-6x+4a|=2x-2a\) имеет ровно два различных корня. ответ: \((-8;-1-\sqrt{5})\cup(0;1)\cup(\sqrt{5}-1;2)\)
29. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} (x^2+y^2+4x)\sqrt{2x+y+6}=0,\\ y=x+a \end{array}\right.\) имеет ровно два различных решения.
30. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \(x^4+(a-3)^2=|x-a+3|+|x+a-3|\) имеет единственное решение или не имеет решений.
31. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} \log_{11}(a-y^2)=\log_{11}(a-x^2),\\ x^2+y^2=2x+6y \end{array}\right.\) имеет ровно два различных решения.
32. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \((5x-2)\cdot\mathrm{ln}(x+a)=(5x-2)\cdot\mathrm{ln}(2x-a)\) имеет ровно один корень на отрезке [0;1]
33. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \(x^2+a^2+x-7a=|7x+a|\) имеет больше двух различных корней.
34. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \((|x-a-1|+|x-a+1|)^2+a(|x-a-1|+|x-a+1|)+a^2-16=0\) имеет ровно два различных корня.
35. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \(\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{4x^2-(4a+2)x+2a}\)  на отрезке [0;1] имеет ровно один корень.
36. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} 4x-y+a=0,\\ 2|y|-x^2+4x=0 \end{array}\right.\) имеет ровно два различных решения.
37. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} (xy-2x+12)\cdot\sqrt{y-2x+12}=0,\\ y=ax-10 \end{array}\right.\) имеет ровно два различных решения.
38. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \(\sqrt{7x-4}\cdot\mathrm{ln}(x^2-8x+17-a^2)=0\) имеет на отрезке [0;4] ровно один корень.
39. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} (xy-2x+12)\cdot\sqrt{y-2x+12}=0,\\ y=3x+a \end{array}\right.\) имеет ровно два различных решения.
40. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система неравенств \(\left\{\begin{array}{l l} ax\ge2,\\ \sqrt{x-1}>a,\\ 3x\le2a+11 \end{array}\right.\) имеет хотя бы одно решение на отрезке [3;4].
41. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система неравенств \(\left\{\begin{array}{l l} x\le2a+6,\\ 6x\ge{x^2}+a^2,\\ x+a>0 \end{array}\right.\) имеет хотя бы одно решение на отрезке [1;2].
42. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} x^2+y^2=6x+8y-9,\\ x^2+y^2=a^2 \end{array}\right.\) имеет ровно два различных решения.
43. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \((3x+|x-a|+|2x+a+1|)^2-a(3x+|x-a|+|2x+a+1|)+a^2-16=0\) имеет ровно один корень.
44. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \(\mathrm{ln}(4x-1)\cdot\sqrt{x^2-6x+6a-a^2}=0\) имеет ровно один корень на отрезке [0;3].
45. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} \log_3(16-y^2)=\log_3(16-a^2x^2),\\ x^2+y^2=8x+4y \end{array}\right.\) имеет ровно два различных решения.
46. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} x^4-y^4=12a-28,\\ x^2+y^2=a \end{array}\right.\) имеет ровно четыре различных решения.
47. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} \sqrt{36-y^2}=\sqrt{36-a^2x^2},\\ x^2+y^2=2x+6y \end{array}\right.\) имеет ровно два различных решения.
48. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \(|x^2+a^2-6x-4a|=2x+2a\) имеет четыре различных корня.
49. Найдите все положительные значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} |x|+|y|=a,\\ y=\sqrt{x+4} \end{array}\right.\) имеет ровно два различных решения.
50. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \(\sqrt{x+2a}\cdot\mathrm{ln}(x-a)=(x-1)\cdot\mathrm{ln}(x-a)\) имеет ровно один корень на отрезке [0;1].
51. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \(\sqrt{2x-1}\cdot\mathrm{ln}(4x-a)=\sqrt{2x-1}\cdot\mathrm{ln}(5x+a)\) имеет ровно один корень на отрезке [0;1].
52. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} \sqrt{a-y^2}=\sqrt{a-x^2},\\ x^2+y^2=2x+4y \end{array}\right.\) имеет ровно два различных решения.
53. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \((|x-a^2|+|x+1|)^2-7(|x-a^2|+|x+1|)+4a^2+4=0\) имеет ровно два различных корня.
54. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \((4x-3|x+a^2|+|x-1|+3a^2)^2-(a+1)(4x-3|x+a^2|+|x-1|+3a^2)+4=0\) имеет ровно два различных корня.
55. Найдите все значения \(a\), для каждого из которых уравнение \(\displaystyle\frac{4x^2-a^2}{x^2+6x+9-a^2}=0\) имеет ровно два различных корня.
56. Найдите все значения \(a\), для каждого из которых уравнение \(\displaystyle\frac{9x^2-a^2}{x^2+8x+16-a^2}=0\) имеет ровно два различных корня.