Подготовка к ЕГЭ. ФИПИ Планиметрия 17

Подготовка к ЕГЭ. ФИПИ Планиметрия 17 (от 14.10.25)

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно. а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁. б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠А=30°, В₁С₁=5 и площадь треугольника АВ₁С₁ в пять раз меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.
Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M, а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N. Отрезки AM и CN пересекаются в точке P. а) Докажите, что в четырёхугольник ABCP можно вписать окружность. б) Найдите радиус этой окружности, если BC=7, AD=23. Ответ: 35/8
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD. а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD. б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC=12 и BD=6,5. Ответ: 5 (задача аналогична задаче №14)
Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно. а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁. б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠А=45∘, В₁С₁=6 и площадь треугольника АВ₁С₁ в восемь раз меньше площади четырёхугольника ВСB₁C₁. Ответ: \(3\sqrt{20-6\sqrt{2}}\)
Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M, а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N. Отрезки AM и CN пересекаются в точке P. а) Докажите, что в четырёхугольник ABCP можно вписать окружность. б) Найдите радиус этой окружности, если BC=7, AD=17. Ответ: 4,2
Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP:PB=CQ:QB=CW:WD=3:4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ=16, QW=12, угол PWQ — острый. а) Докажите, что треугольник PQW — прямоугольный. б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.
Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно. а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁. б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠А= 135∘, B₁C₁=10 и площадь треугольника АВ₁С₁ в семь раз меньше площади четырёхугольника ВСB₁C₁.
Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK:KC=1:2. а) Докажите, что ∠BAC=30°. б) Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P, а прямые AP и BK — в точке Q. Найдите KQ, если BC=\(\sqrt{21}\).
Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ=16, QW=12, угол PWQ — острый. а) Докажите, что треугольник PQW — прямоугольный. б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD. Ответ: 600
Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно. а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁. б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠А=45°, В₁С₁=6 и площадь треугольника АВ₁С₁ в восемь раз меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.
Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно. а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁ б) Вычислите длину стороны В₁С₁ и радиус данной окружности, если ∠A=150° , BC=\(5\sqrt{5}\) и площадь треугольника АВ₁С₁ в четыре раза меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.
Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно. а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁ б) Вычислите длину стороны В₁С₁ и радиус данной окружности, если ∠A=120° , BC=\(10\sqrt{7}\) и площадь треугольника АВ₁С₁ в три раза меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.
Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D. а) Докажите, что ∠ABM=∠DBС=30°. б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM , если BC=9.
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD. а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD. б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC=15 и BD=8,5. Ответ: 8 (задача аналогична задаче №3)
На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C₁, A₁ и B₁ соответственно, причем AC₁:C₁B=8:3, BA₁:A₁C=1:2, AB₁:B₁C=1:3. Отрезки BB₁ и CC₁ пересекаются в точке D. а) Докажите, что четырехугольник ADA₁B₁ – параллелограмм; б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC=16, BC=15.
В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC=60°, ∠BCA=45°. а) Докажите, что точки A₁, B₁, C₁ и H лежат на одной окружности. б) Найдите A₁H, если BC=\(2\sqrt{3}\).
[не в тему] В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C₁, причём CC₁ — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB=45°, AB=\(2\sqrt{3}\), CC₁=\(2\sqrt{6}\). а) Докажите, что угол между прямыми AC₁ и BC равен 60°. б) Найдите расстояние от точки B до прямой AC₁.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R=8. Известно, что AB=BC=CD=12. а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны. б) Найдите AD.
В трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC. Внутри трапеции взяли точку M так, что углы ABM и DCM прямые. а) Докажите, что AM=DM. б) Найдите угол BAD, если угол ADC равен 70°, а расстояние от точки M до прямой AD равно стороне BC.
В четырёхугольник KLMN вписана окружность с центром O. Эта окружность касается стороны MN в точке A. Известно, что ∠MNK=90°, ∠NKL=∠KLM=120°. а) Докажите, что точка A лежит на прямой LO. б) Найдите длину стороны MN , если LA=1.
В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. а) Докажите, что AH=AO. б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC=\(\sqrt{15}\), ∠ABC=45°.
Окружность проходит через вершины A, B и C параллелограмма ABCD, пересекает продолжение стороны AD за точку D в точке E и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке K. а) Докажите, что BK=BE . б) Найдите отношение KE:AC, если ∠BAD=30°.
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечены точки M и N соответственно так, что AM=MO, CN=NO. а) Докажите, что точки M, O и N лежат на одной прямой. б) Найдите отношение AM:MB, если AO=CO и BC:AD=17:31.
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM=MC. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC. б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если AB=5, BC=10, ∠BAD=60°.
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности. а) Докажите, что прямая AC параллельна биссектрисе угла ANB. б) Найдите длину отрезка NO, если известно, что AC=10 и AB=24.
В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC. а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых вдвое больше другого. б) Найдите расстояние от вершины C до середины диагонали BD, если AD=15 и AC=\(2\sqrt{61}\). Ответ: 6
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M. а) Докажите, что ∠BAM=∠CAD. б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника AOB, если AB=\(\sqrt{10}\), а BC=2BM
В треугольнике ABC угол ACB равен 30°, отрезки AH и AM — высота и медиана соответственно, причём точка H лежит на отрезке BM. Отрезок MQ — высота треугольника AMC, а прямые AH и MQ пересекаются в точке F. Известно, что луч AM — биссектриса угла CAH. а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите площадь треугольника CMF, если AB=8.
Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хорды. а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке. б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону AB в точках K и L так, что AK=15, KL=6, LB=5.
В треугольнике ABC продолжения высоты CC1 и биссектрисы BB1 пересекают описанную окружность в точках N и M соответственно, ∠ ABC=40°, ∠ ACB=85°. а) Докажите, что BM=CN. б) Прямые BC и MN пересекаются в точке D. Найдите площадь треугольника BDN, если его высота BH равна 6.
На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает стороны AB и BC в точках E и K соответственно. а) Докажите, что треугольники AEM и CMK подобны. б) Найдите отношение AM:MC, если площади треугольников AEM и CMK равны 4 и 9 соответственно.
В четырёхугольник KLMN вписана окружность с центром O. Эта окружность касается стороны MN в точке A. Известно, что ∠MNK=90°, ∠LMN=∠KLM=60°. а) Докажите, что точка A лежит на прямой LO. б) Найдите длину стороны MN , если LA=3.
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Диагонали AD и BE пересекаются в точке M. Известно, что BCDM — параллелограмм. а) Докажите, что BC=DE. б) Найдите длину стороны AB, если известно, что DE=4, AD=7, BE=8 и AB>BC.
Сумма оснований трапеции равна 13, а её диагонали равны 5 и 12. а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны. б) Найдите высоту трапеции.
Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. а) Докажите, что ∠BB₁C₁=∠BAH. б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если B₁C₁=18 и ∠BAC=30°.
Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке K. а) Докажите, что AE=AK. б) Найдите отношение KE:BD, если ∠BAD=60°.
В треугольнике ABC точки M и N лежат на сторонах AB и BC соответственно так, что AM:MB=CN:NB=2:3. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается отрезка MN в точке L. а) Докажите, что AB+BC=4AC. б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если ML=9/5, LN=3.
Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает сторону CD в точках K и D . а) Докажите, что AE=AK . б) Найдите AD, если CE=10, DK=9 и cos∠BAD=0,2.
В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC=120°, ∠BCA=45°. а) Докажите, что точки A₁, B₁, C₁ и H лежат на одной окружности. б) Найдите A₁H , если BC=\(6\sqrt{3}\).
В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE=CE. а) Докажите, что AL⋅BC=AB⋅AC. б) Найдите EL, если AC=8, tg∠BCA=1/2
В остроугольном треугольнике ABC угол BAC в два раза больше угла ABC. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Окружность, описанная около треугольника AOC, пересекает отрезок BC в точках C и P. а) Докажите, что AP=BP. б) Найдите длину стороны BC, если AB=7, AC=4.
В остроугольном треугольнике ABC угол BAC в два раза больше угла ABC. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Окружность, описанная около треугольника AOC, пересекает отрезок BC в точках C и P. а) Докажите, что треугольники PAC и ABC подобны. б) Найдите длину стороны AB, если AC=2, BC=\(\sqrt{10}\).
В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C, причём CM=BC и CN=AC . а) Отрезки CP и CQ — медианы треугольников ABC и NCM соответственно. Докажите, что прямые CP и CQ перпендикулярны. б) Прямые MN и AB пересекаются в точке K, а прямые BM и AN — в точке L. Найдите KL, если BC=1, а AC=5.
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB=CD=3, BC=DE=4. а) Докажите, что AC=CE. б) Найдите длину диагонали BE, если AD=6.
Сумма оснований трапеции равна 10, а её диагонали равны 6 и 8. а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны. б) Найдите высоту трапеции. Ответ: 4,8
Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины А и В равнобедренного прямоугольного треугольника с прямым углом С лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает бо́льшую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке D. а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны. б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 3 и 4.
В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC=30°, ∠BCA=45°. а) Докажите, что точки A₁, B₁, C₁ и H лежат на одной окружности. б) Найдите A₁H, если BC=\(4\sqrt{3}\).
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности. а) Докажите, что ∠ANB=2∠ABC. б) Найдите расстояние от точки N до прямой AB, если известно, что AC=14 и AB=36.
Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N, причём AM:MC=1:2, BN:ND=1:3. а) Докажите, что cos∠BAD=1/5. б) Найдите площадь ромба, если MN=5.
В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC=120°, ∠BCA=15°. а) Докажите, что точки A₁, B₁, C₁ и H лежат на одной окружности. б) Найдите A₁H, если BC=\(4\sqrt{3}\).
Периметр треугольника ABC равен 36. Точки E и F — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок EF касается окружности, вписанной в треугольник ABC. а) Докажите, что AC=9. б) Найдите площадь треугольника ABC, если ∠ACB=90°.
В квадрате ABCD точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки CM и DN пересекаются в точке K. а) Докажите, что ∠ BKM=45°. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABK, если сторона AB=\(2\sqrt{10}\).
На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает стороны AB и BC в точках E и K соответственно. а) Докажите, что ∠AEM=∠CMK. б) Найдите отношение площадей треугольников AEM и CMK, если AM:MC=1:4.
В остроугольном треугольнике ABC высоты AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке H. Через точку C1 параллельно высоте BB₁ проведена прямая, пересекающая высоту AA₁ в точке K. а) Докажите, что AB⋅KH=BC⋅C₁H. б) Найдите отношение площадей треугольников C₁HK и ABC, если AB=6, BC=4, AC=5. ответ: 81:448
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно. а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны. б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите длину отрезка AL, если радиус большей окружности равен 34, а BC=32.
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB=BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую AD опущен перпендикуляр CK. а) Докажите, что AB:BC=AE:EK. б) Найдите отношение площади треугольника ABE к площади четырёхугольника CDEF, если BD:DC=5:2.
Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N, причём AM:MC=1:2, BN:ND=1:3. а) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба BC в отношении 1:4. б) Найдите сторону ромба, если MN=\(\sqrt{6}\).
В параллелограмме ABCD с острым углом BAD из вершины B проведены высоты BP и BQ, причём точка P лежит на стороне AD, а точка Q — на стороне CD. На стороне AD отмечена точка M. Известно, что AM=BP, AB=BQ. а) Докажите, что BM=PQ. б) Найдите площадь треугольника APQ, если AM=BP=8, AB=BQ=10.
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке C. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает бо́льшую окружность в точке E, а прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке D. а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны. б) Найдите BC, если радиусы окружностей равны \(\sqrt{15}\) и 15.
Окружность с центром O₁ касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD. Окружность с центром O2 касается сторон BC, CD и AD. Известно, что AB=10, BC=9, CD=30, AD=39. а) Докажите, что прямая O₁O₂ параллельна основаниям трапеции ABCD. б) Найдите O₁O₂.
Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O. а) Докажите, что CO=KO. б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 9/100 площади трапеции ABCD.
Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и M и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке N. а) Докажите, что AM=AN. б) Найдите отношение CD:DN, если AB:BC=1:2, а cos∠BAD=2/3 .
В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC. а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого. б) Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка OD, если BC=16 и AB=10.
На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C₁, A₁ и B₁ соответственно, причём AC₁:C₁B=21:10, BA₁:A₁C=2:3, AB₁:B₁C=2:5. Отрезки BB₁ и CC₁ пересекаются в точке D. а) Докажите, что четырёхугольник ADA₁B₁ — параллелограмм. б) Найдите CD, если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC=63, BC=25. Ответ: 27
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. Через точку O провели прямую, параллельную основаниям BC и AD. а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне. б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если AO=CO и данная прямая делит сторону AB в отношении AM:MB=1:2.
В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. а) Докажите, что AH=AO. б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC=3, ∠ABC=15°.
Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается её боковой стороны CD в точке M. Луч AM вторично пересекает окружность в точке N, а прямую BC — в точке K, причём AN=4, MN=12. а) Докажите, что угол AMD равен углу MCK. б) Найдите основания трапеции. Ответ: 16 и 9,6

Смотрите: