Итоговая контрольная работа

Вариант 5

1. Квартал застроен пятиэтажными и девятиэтажными домами, причем девятиэтажных домов меньше, чем пятиэтажных. Если число девятиэтажных домов увеличить вдвое, то общее число домов станет более 24, а если увеличить вдвое число пятиэтажных домов, то общее число домов станет менее 27. Сколько пятиэтажных и девятиэтажных домов построено?
2. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если радиус описанной около него окружности равен 10, AB = 12, AC = 20.
3. Из 99 карточек, на каждой из которых написано уникальное натуральное число от 1 до 99, наудачу вынимают одну карточку. Какова вероятность того, что число на карточке делится на 3 и на 11?
4. Число 180 представьте в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы два из них соотносились как 1:2, а произведение всех трех слагаемых было наибольшим.
5. Вычислите \(\cos36^o+\cos108^o\)
6. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее второй член, удвоенное произведение первого члена на четвертый и третий член являются последовательными членами арифметической прогрессии с разностью, равной 1/3
7. \(x^2+(\frac{x}{x-1})^2=8\)
8. \(||x+1|-|x-3||=|x|\)
9. \(2^{\sin^2x}+2^{\cos^2x}=3\)
10. \(\log_x(\log_3(9^x-6))\ge1\)
11. \(\sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+1}=4\)
12. \(\mathrm{tg}x+\mathrm{tg}2x-\mathrm{tg}3x=0\)
13. Через точку M, лежащую внутри треугольника ABC, проведены три прямые, параллельные его сторонам. Площади образовавшихся треугольников равны S1, S2, S3. Найдите площадь треугольника ABC.
14. При каких \(a\) уравнение \(|x^2-5|x||=a(x+4)\) имеет ровно три различных корня?
15. \(\left\{\begin{array}{l l} x+y+z=18,\\ x^2+y^2+z^2=108 \end{array}\right.\)
16. Решить в целых числах уравнение \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=1\)
17. Парабола с вершиной на оси Ох касается прямой, проходящей через точки А(-1,-1) и В(4, 4), в точке А. Найти уравнение параболы.
18. Вокруг треугольника ABC описана окружность. Медиана AD продолжена до пересечения с этой окружностью в точке E. Известно, что AB+AD=DE, AE = 6 и угол BAD равен 60^o. Найдите площадь треугольника ABC.
19. Резервуар наполняется водой по пяти трубам. Первая труба наполняет резервуар за 40 мин; вторая, третья и четвертая, работая одновременно, – за 10 мин; вторая, третья и пятая – за 20 мин и, наконец, пятая и четвертая – за 30 мин. За какое время наполняет резервуар все пять труб при одновременной работе?
20. При каких значениях параметра \(a\)  уравнение имеет единственный корень \(x-2=\sqrt{2(a-1)x+1}\)

смотрите еще Вступительные экзамены и МГУ. Дополнительное вступительное испытание 2013