Итоговая контрольная работа

Вариант 4

1. Сумма квадратов крайних цифр четырехзначного числа M равна 58. Сумма квадратов средних цифр этого числа равна 68. Сумма числа M и числа 4536 равна числу, записанному теми же цифрами числа M, но в обратном порядке. Найдите число M.
2. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найти расстояние от центра вписанной в этот треугольник окружности до высоты, опущенной на гипотенузу.
3. Два друга договорились о встрече на следующих условиях: каждый приходит в указанное место независимо друг от друга в любой момент времени от 18:00 до 19:00. Придя, ожидает не более 30 минут, а уходит не позднее 19:00. Какова вероятность их встречи?
4. Из полного бака, содержащего 729 кг кислоты, отлили a кг и долили бак водой. После тщательного перемешивания отлили a кг раствора и снова долили бак водой. После того как такая процедура была проделана 6 раз, раствор в баке стал содержать 64 кг кислоты. Найти величину a, а также количество чистой кислоты, которое отливали каждый раз.
5. Вычислить \(\cos\displaystyle\frac{\pi}{12}\)
6. Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если сумма ее первого и третьего членов равна 35, а сумма первых пяти членов в 49 раз больше суммы их обратных величин
7. \(x^2+x+\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=4\)
8. \(|x^2-4x+3|+|x^2-4x-5|=8\)
9. \(2^{\cos{2x}}=3\cdot2^{\cos^2x}-4\)
10. \(\log_{0,3}\log_6\displaystyle\frac{x^2+x}{x+4}<0\)
11. \((x-3)\sqrt{x^2-5x+4}=2x-6\)
12. \(\cos^2\displaystyle\frac{x}{5}+\cos^2\displaystyle\frac{2x}{5}=\cos^2\displaystyle\frac{3x}{5}\)
13. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 20, а проекция другого катета на гипотенузу равна 9. Найдите гипотенузу треугольника.
14. При каких \(a\) уравнение \(2\cos^2(2^{2x-x^2-1})=a-\sqrt{3}\sin(2^{2x-x^2})\) имеет хотя бы одно решение?
15. Найти уравнение общей касательной к параболам \(y=x^2-2x\) и \(y=x^2+4x\)
16. Найти все целые решения уравнения \(x^2-4x-y^2+2y+6=0\)
17. Найдите длину и координаты концов отрезка, который соединяет графики функций \(y=x^2\) и \(y=x-2\) и при этом имеет наименьшую длину.
18. В треугольнике ABC BM – медиана, точка K лежит на стороне BC, причем BK:KC=1:2. Прямые BM и AK пересекаются в точке О. Найдите отношение площади треугольника BOK к площади треугольника ABC.
19. Найти на отрезке \([0;\pi]\) все решения неравенства \(\sqrt{\frac{1}{2}-\cos{2x}}>\sin{x}-\cos{x}\).
20. \(|x+a|<x\)

смотрите еще Вступительные экзамены и МГУ. Дополнительное вступительное испытание 2013