Итоговая контрольная работа

Вариант 3

1. Из города A в город B отправился путешественник, который в первый день преодолел \(\frac{1}{n}\) часть всего пути. На следующий день он прошел \(\frac{1}{m}\) оставшегося пути. В последующие дни он проходил попеременно то \(\frac{1}{n}\) часть, то \(\frac{1}{m}\) часть пути, оставшегося к концу предыдущего дня. Через 10 дней такого путешествия выяснилось, что он прошел \(\frac{31}{32}\) всего расстояния между городами. Найти числа \(m\) и \(n\), если известно, что они целые, причем \(m>n\).
2. Медиана AD и высота CE треугольника ABC, в котором AB = BC, пересекаются в точке P так, что CP = 5, PE = 2. Найти площадь треугольника ABC.
3. В квадрат с вершинами в точках (0;0); (0;1); (1;1); (1;0) наудачу брошена точка K(x;y). Найдите вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству \(y\ge0,5x\).
4. Число 51,2 трижды увеличивали на одно и то же количество процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое количество процентов. В результате получили 21,6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали данное число?
5. Найдите \(\sin^4x+\cos^4x\), если \(\sin{x}+\cos{x}=\frac{1}{2}\)
6. Найти отношение суммы первых 2n членов арифметической прогрессии к сумме следующих 2n ее членов, если сумма первых 3n членов равна сумме следующих n членов, а разность прогрессии не равна нулю.
7. \((2x^2-3x+1)(2x^2+5x+1)=9x^2\)
8. \(|x-|x-|x-1|||=\displaystyle\frac{1}{2}\)
9. \(x^2\cdot4^{\sqrt{6-x}}+4^{2+x}=16\cdot2^{2\sqrt{6-x}}+x^2\cdot2^{2x}\)
10. \(\log_{x^2}16+\log_{2x}64=3\)
11. \(\sqrt{3+\sqrt{5-x}}=\sqrt{x}\)
12. \(\sin{2x}-\sin{3x}+\sin{8x}=\sin{7x}\)
13. В треугольнике ABC со сторонами AB = 5, BC = \(\sqrt{17}\), AC = 4 на стороне AC взята точка M так, что CM = 1. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников ABM и BCM.
14. Известно, что \(f(0)=0\) и для любого \(x\) верно \(f(x+1)=f(x)+2x+1\). Найдите \(f(2001)\).
15. \(\left\{\begin{array}{l l} x^2-xy=6,\\ y^2-xy=3 \end{array}\right.\)
16. Найти целые решения уравнения \(x+y=xy\)
17. Найти все \(a\), для которых при каждом \(x\) из [-2;-1) значение выражения \(x^4-5\) не равно значению выражения \((3a+2)x^2\).
18. В прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 8 найдите радиус окружности, касающейся катетов, с центром, лежащим на гипотенузе.
19. \(\sqrt{x^2-2x-3}-\sqrt{3x-x^2}=\sqrt{x-3}\)
20. \((a+4)\sqrt{5-x}>a+3\)

смотрите еще Вступительные экзамены и МГУ. Дополнительное вступительное испытание 2013