Итоговая контрольная работа

Вариант 2

1. Из пункта A в пункт B вышел пешеход. Вслед за ним через 2 ч из пункта A выехал велосипедист, а еще через 30 мин — мотоциклист. Все участники движения перемещались равномерно и без остановок. Через некоторое время после выезда мотоциклиста оказалось, что все трое преодолели одинаковую часть пути от A до B. На сколько минут раньше пешехода прибыл в пункт B велосипедист, если пешеход прибыл туда на 1 ч позже мотоциклиста?
2. На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC расположены соответственно точки E и F так, что AE = 5, AF = \(2\sqrt{37}\), CE = 11, CF = 10. Найти площадь треугольника ABC
3. Решите в целых числах уравнение \(\sqrt{2x-y-3}+\sqrt{2y-x+3}=2\sqrt{3-x-y}\)
4. В результате реконструкции цеха число высвободившихся рабочих заключено в пределах от 1,7 до 2,3 % от общего числа рабочих цеха. Найдите минимальное число рабочих, которое могло быть занято в цехе до реконструкции.
5. Выразите \(\log_{300}120\) через \(a\) и \(b\), если \(a=\log_23\), \(b=\log_35\)
6. При каких значениях \(a\) четыре корня уравнения \(x^4+(a-5)x^2+(a+2)^2=0\) являются последовательными членами арифметической прогрессии?
7. \(\displaystyle\frac{x^2+x-5}{x}+\frac{3x}{x^2+x-5}+4=0\)
8. \(|x^2-3|x|+1|=1\)
9. \(6^x+6^{x+1}=2^x+2^{x+1}+2^{x+2}\)
10. \(\log_{0,5}^2{4x}+\log_2\displaystyle\frac{x^2}{8}=8\)
11. \(1+\sqrt{1+x\sqrt{x^2-34}}=x\)
12. \(\cos{3x}-\sin{x}=\sqrt{3}(\cos{x}-\sin{3x})\)
13. Из вершины D ромба ABCD опущен перпендикуляр DE на сторону BC. Найти длину стороны ромба, если AC = \(2\sqrt{6}\), AE = \(\sqrt{14}\).
14. Найти наименьшее и наибольшее значения функции \(y=\cos^2{x}+\sin{x}\) при \(x\in[0;\frac{\pi}{4}]\)
15. \(\left\{\begin{array}{l l} x^3-y^3=19(x-y),\\ x^3+y^3=7(x+y) \end{array}\right.\)
16. Сколько раз нужно подбросить два игральных кубика, чтобы вероятность выпадения хотя бы один раз двух шестерок была бы больше 1/2?
17. Найти множество значений функции \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sin^2{x}+\cos{x}+2}\)
18. В выпуклом четырехугольнике ABCD проведены диагонали. Найти площади треугольников ABC, ACD, BCD и BDA, если площадь треугольника ABC вдвое больше площади треугольника ACD, площадь треугольника BCD втрое больше площади треугольника BDA, а площадь четырехугольника ABCD равна 24.
19. В урне находится 8 красных и 6 голубых шаров. Из урны последовательно без возращения извлекается 3 шара. Найти вероятность того, что все 3 шара голубые.
20. Найти все значения \(a\), при которых неравенство \(\displaystyle\frac{8x^2-4x+3}{4x^2-2x+1}\le{a}\) верно для всех значений \(x\).

смотрите еще Вступительные экзамены и МГУ. Дополнительное вступительное испытание 2013