Итоговая контрольная работа

Вариант 1

1. Пристань A находится выше по течению реки, чем пристань B. Из A и B одновременно навстречу друг другу начали движение плот и моторная лодка. Достигнув пристани A, моторная лодка немедленно повернула обратно и догнала плот в тот момент, когда он проплыл 2/3 расстояния между A и B. Найти время, которое затрачивает плот на путь из A в B, если моторная лодка проплывает из B в A и обратно за 3 ч.
2. В правильном треугольнике ABC проведена средняя линия DE параллельно AC. Прямая, проходящая через точку A и середину F отрезка DE, пересекает BC в точке K. Найти длину отрезка AK, если AC = a.
3. Найдите все пары целых чисел \(x\) и \(y\), удовлетворяющие уравнению \(3x^2-7y^2-20xy=15\).
4. Грузчики A и B работали одинаковое число часов. Если бы грузчик A работал на 1 ч меньше, а B — на 7 ч меньше, то A заработал бы 72 тыс. руб., а B — 64,8 тыс. руб. Если бы A работал на 7 ч меньше, а B — на 1 ч меньше, то B заработал бы на 32,4 тыс. руб. больше, чем A. Сколько заработал каждый грузчик?
5. Вычислите \(\displaystyle\frac{\log_2{24}}{\log_{96}2}-\frac{\log_2{192}}{\log_{12}2}\)
6. Квадратное уравнение \(x^2-6px+q=0\) имеет два различных корня \(x_1\) и \(x_2\). Числа \(p\), \(x_1\), \(x_2\), \(q\) – четыре последовательных члена геометрической прогрессии. Найдите \(x_1\) и \(x_2\).
7. \((\displaystyle\frac{x^2+6}{x^2-4})^2=(\frac{5x}{4-x^2})^2\)
8. \(x^2+2x+3\cdot\displaystyle\frac{|x-1|}{x-1}=0\)
9. \(5^2\cdot5^4\cdot5^{6}\cdot…\cdot5^{2x}=0,04^{-28}\)
10. \(x+\mathrm{lg}(1+2^x)=x\cdot\mathrm{lg}5+\mathrm{lg}6\)
11. \(\sqrt{x+7}\sqrt{3x-2}=3\sqrt{x-1}\sqrt{x+2}\)
12. \(\sin(\pi\sin{x})=-1\)
13. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC, касается гипотенузы AB в точке E. Найти площадь треугольника ABC, если AE = m, BE = n.
14. При каких значениях \(a\) и \(b\) прямая \(y=7x-2\) касается графика функции \(y=ax^2+bx+1\) в точке A(1;5)?
15. \(\left\{\begin{array}{l l} 2x^2-xy-3y=7,\\ 2x^2+x-3=(x-1)(y+5) \end{array}\right.\)
16. Вероятность того, что новый мобильный телефон прослужит больше двух лет, равна 0,62. Вероятность того, что он прослужит больше пяти лет, равна 0,43. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше пяти лет, но больше двух.
17. Найти множество значений функции \(f(x)=\displaystyle\frac{x+2}{(x+1)^2}\)
18. В прямоугольном треугольнике ABC (угол C прямой) проведены биссектриса AE и медиана BD, которые пересекаются в точке M. Найти площадь треугольника ABC, если AM = 8, ME = 5.
19. \(\left\{\begin{array}{l l} \log_x(xy)=\log_yx^2,\\ y^{2\log_yx}=8+9y \end{array}\right.\)
20. При каждом значении параметра \(a\) решите неравенство \(\displaystyle\frac{(x-1)(x-a)}{x-\frac{a+1}{2}}>0\)

смотрите еще Вступительные экзамены и МГУ. Дополнительное вступительное испытание 2013