Числа и их свойства

к содержанию справочника

Общие категории чисел

1. Натуральные числа \(N\). Это числа 1, 2, 3, 4, … .
2. Целые числа \(Z\). Это числа \(0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, …\). То есть это натуральные числа, им противоположные числа и ноль.
3. Рациональные числа \(Q\). Это числа, которые можно представить в виде дроби \(\displaystyle\frac{m}{n}\), где \(m\) – целое число, \(n\) – натуральное. Например, \(3\), \(\frac{2}{3}\), \(-\frac{5}{2}\).
4. Действительные числа \(R\). Например,  \(3\), \(\sqrt{6}\), \(0\), \(-\sqrt{2}\), \(\frac{3}{4}\).
5. Иррациональные числа. Действительные числа, которые не являются рациональными. Например, \(\sqrt{5}\).
6. Комплексные числа \(C\). Могут быть записаны в виде \(a+i\cdot b\), где \(i\) – мнимая единица и \(i^2=-1\). Любое действительное число является комплексным.
7. Положительные числа. Числа, которые больше нуля. Например, \(4\), \(\sqrt{5}\), \(213\). Но не \(0\) и не \(-5\).
8. Неотрицательные числа. Числа, которые не меньше нуля. Например, \(6\), \(0\), \(\frac{3}{2}\). Но не \(-3\).
9. Отрицательные числа. Числа, которые меньше нуля. Например, \(-4\), \(-\sqrt{5}\). Но не \(0\) и не \(5\).
10. Неположительные числа. Числа, которые не больше нуля. Например, \(0\), \(-\sqrt{3}\). Но не \(6\), не \(\sqrt{7}\).

Виды натуральных чисел

1. Четные числа. Натуральные числа, которые делятся на 2. Например, 2, 4, 6, 8, …
2. Нечетные числа. Натуральные числа, которые не являются четными. Например, 1, 3, 5, 7, …
3. Простые числа \(P\). Натуральные числа, которые имеют ровно два различных делителя. Первые простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, …. (еще простые числа). Число 1 не является простым. Простых чисел бесконечно много.
4. Составные числа. Натуральные числа, большие единицы, которые не являются простыми числами. Первые составные числа: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26.

Признаки делимости

1. На 2: последняя цифра числа четная. Например, 2098 делится на 2, так как 8 делится на 2. Число 1993 не делится на 2, так как 3 не делится на 2.
2. На 3: сумма цифр числа делится на 3. Например, 123 делится на 3, так как 1+2+3=6 и 6 делится на 3. Число 451 не делится на 3, так как 4+5+1=10 и 10 не делится на 3.
3. На 4: две последние цифры числа нули или образуют число, делящееся на 4. Например, 123416 делится на 4, так как 16 делится на 4.
4. На 5: последняя цифра числа 0 или 5.
5. На 6: число должно делиться на 3 и на 2, а это можно проверить с помощью признаков делимости на 2 и на 3. Например, 11142 делится на 6, так как 1+1+1+4+2=9 и последняя цифра, равная 2, четная.
6. На 8: три последние цифры числа нули или образуют число, делящееся на 8. Например, 12345112 делится на 8, так как 112 делится на 8.
7. На 9: сумма цифр числа делится на 9. Например, 5517 делится на 9, так как 5+5+1+7=18 и 18 делится на 9.
8. На 11: сумма цифр, стоящих на четных местах, отличается от суммы цифр, стоящих на нечетных местах, на число, которое делится на 11. Например, 72457 делится на 11, так как 2+5=7, 7+4+7=18 и разность 18-7=11 делится на 11. Число 284857 не делится на 11, так как 8+8+7=23, 2+4+5=11 и разность 23-11=12 не делится на 11.
9. На 25: число оканчивается на 00, 25, 50 или 75.