Справочник по математике

Линии второго порядка

к содержанию справочника

1. \(\quad\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) – эллипс
2. \(\quad\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) – гипербола
3. \(\quad y^2=2px\) – парабола
4. \(\quad\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1\) – мнимый эллипс
5. \(\quad\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0\) – пара мнимых пересекающихся прямых
6. \(\quad\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0\) – пара действительных пересекающих прямых
7. \(\quad x^2-a^2=0\) – пара действительных параллельных прямых
8. \(\quad x^2+a^2=0\) – пара мнимых параллельных прямых
9. \(\quad x^2=0\) – пара совпадающих действительных прямых

Приведение  уравнения к каноническому виду

\(Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0\)

С помощью уравнения \(\mathrm{tg}{2\alpha}=\displaystyle\frac{2B}{A-C}\) находим \(\sin\alpha\) и \(\cos\alpha\). Если \(A=C\), то можно считать \(\alpha=\displaystyle\frac{\pi}{4}\). Далее переходим к новым координатам с помощью равенств

\(x=x_1\cos\alpha-y_1\sin\alpha\) и \(y=x_1\sin\alpha+y_1\cos\alpha\).

Получим уравнение без слагаемого, содержащего \(xy\). При этом мы перешли к новой системе координат, полученной из старой поворотом ее вокруг начала координат на угол \(\alpha\). Далее при необходимости выделяем полные квадраты и осуществляем параллельный сдвиг координатных осей.

Поверхности второго порядка

1. \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\) – эллипсоид
2. \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=-1\) – мнимый эллипсоид
3. \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\) – однополостный гиперболоид
4. \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1\) – двуполостный гиперболоид
5. \(\displaystyle\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{q}=2z\), \(p>0\), \(q>0\) – эллиптический параболоид
6. \(\displaystyle\frac{x^2}{p}-\frac{y^2}{q}=2z\), \(p>0\), \(q>0\) – гиперболический параболоид
7. \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) – эллиптический цилиндр
8. \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1\) – мнимый эллиптический цилиндр
9. \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) – гиперболический цилиндр
10. \(x^2=2py\), \(p>0\) – параболический цилиндр
11. \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\) – конус второго порядка
12. \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=0\) – мнимый конус второго порядка
13. \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0\) – пара пересекающихся плоскостей
14. \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0\) – пара мнимых пересекающихся плоскостей
15. \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}=1\) – пара параллельных плоскостей
16. \(x^2+a^2=0\) – пара мнимых параллельных плоскостей
17. \(x^2=0\) – пара совпадающих плоскостей

к содержанию справочника