Справочник по математике

Линии второго порядка

к содержанию справочника

1. $\quad\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ - эллипс
2. $\quad\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ - гипербола
3. $\quad y^2=2px$ - парабола
4. $\quad\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1$ - мнимый эллипс
5. $\quad\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$ - пара мнимых пересекающихся прямых
6. $\quad\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$ - пара действительных пересекающих прямых
7. $\quad x^2-a^2=0$ - пара действительных параллельных прямых
8. $\quad x^2+a^2=0$ - пара мнимых параллельных прямых
9. $\quad x^2=0$ - пара совпадающих действительных прямых

Приведение  уравнения к каноническому виду

$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0$

С помощью уравнения $\mathrm{tg}{2\alpha}=\displaystyle\frac{2B}{A-C}$ находим $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$. Если $A=C$, то можно считать $\alpha=\displaystyle\frac{\pi}{4}$. Далее переходим к новым координатам с помощью равенств

$x=x_1\cos\alpha-y_1\sin\alpha$ и $y=x_1\sin\alpha+y_1\cos\alpha$.

Получим уравнение без слагаемого, содержащего $xy$. При этом мы перешли к новой системе координат, полученной из старой поворотом ее вокруг начала координат на угол $\alpha$. Далее при необходимости выделяем полные квадраты и осуществляем параллельный сдвиг координатных осей.

к содержанию справочника